EXAMEN S1 ANALYSE JANVIER 2019

ESTI ANNABA. EXAMEN ANALYSE 1ERE ANNEE S1
16 Janvier 2019 2heures

Exercice1(2points)
Calculez:

Z

x2 + 3x + 1
dx
x2 + x + 1

Exercice2 (7points)
a)(1point) Résoudre le système linéaire d’inconnues A; B; C; D suivant:8
A + Cp
=0
>
> p
<
A 2 +pB C 2 +pD = 0
>
A+B 2+C D 2=0
>
:
B+D =1
b)(1.5points) Montrez que l’équation x4 + 1 = 0 admet quatre solutions
complexes qu’on calculera.
c)(1points) Ecrire x4 + 1 sous la forme
x 4 + 1 = x 2 + p 1 x + q1

x 2 + p 2 x + q2 ;

avec p21 4q1 < 0 et p22 4q2 < 0
d)(1.5points) Décomposez la fraction rationnelle R(x) =
éléments simples.
e)(2points) Calculez
Z
x 1
dx
x5 x4 + x 1

Exercice 3 (5points)
On considère la fonction
f (x) =
1

p

jxj

x 1
x5 x4 +x 1

en

a)(0.5points) Trouvez le domaine de dé…nition D(f ) de f
b)(1,5points) Soit x0 2 R : Etudiez en utilisant la dé…nition la dérivabilité de f au point x0 et calculez f 0 (x0 ):
c)(1point) Soit x0 = 0: Etudiez en utilisant la dé…nition la dérivabilité à
gauche et la dérivabilité à droite de f au point x0 = 0: Que peut on conclure?
d)(1point) Donnez le tableau de variations de f
e)(1point) Tracez le graphe de f

Exercice 4(3points)
a)(1,5points) Soit f : I ! J une fonction bijective et dérivable sur
I et f 1 : J ! I sa fonction réciproque. Soit x0 2 I telle que f 0 (x0 ) 6=
0: Démontrez la formule suivante:
1
(f 1 )0 (f (x0 ) = 0
(1)
f (x0 )
b)(1.5points) On admet que
exp0 (x) = exp(x)

(2)

Démontrez en utilisant la formules (1) et (2) précédentes que pour tout point
x0 2]0; +1[, on a
1
(ln)0 (x0 ) =
x0

Exercice 5(3points)
Considérons la fonction

r

r
1
a
1
2
+
+3
f (x) =
x3 x
x2
a)(1.5points) Trouvez le D.L d’ordre 3 de f (x) au voisinage de 0
b)(0.5points) Montrez que si a = 29 alors f (x) Cx3 ; C = constante
3

0

c)(0.5points) Montrez que si a 6= 92 alors f (x)
constante, C1 = constante
d)(0.5points) Trouvez
lim f (x)
x!0+

2

0

C1 x + Cx3 ; C =