correction exercices sur les distances et les milieux

Exercice 1 :

1)

Ici on a : 𝑥𝐴 = −5 𝑦𝐴 = 5
𝑥𝐵 = −2

𝑦𝐵 = −3

On applique la formule :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 −5 − 2 −7
=
=
= −3,5
2
2
2
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 5 − 3 2
=
= =1
2
2
2
Donc le milieu de [AB] a pour coordonnées I(−3,5 ; 1).
2)

Ici on a : 𝑥𝐴 = −5 𝑦𝐴 = 5
𝑥𝐶 = 3

𝑦𝐶 = −1

On applique la formule :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 −5 + 3 −2
=
=
= −1
2
2
2
𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 5 − 1 4
=
= =2
2
2
2
Donc le milieu de [AC] a pour coordonnées J(−1 ; 2).

3) Afin de savoir si le triangle ABC est rectangle, nous allons déterminer les longueurs
des 3 côtés.
AB=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(−2 − (−5))2 + (−3 − 5)2 = √32 + (−8)2 =
√9 + 64 = √73

AC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 = √(3 − (−5))2 + (−1 − 5)2 = √82 + (−6)2 =
√64 + 36 = √100 = 10

BC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(3 − (−2))2 + (−1 − (−3))2 = √52 + 22 =
√25 + 4 = √29

Calculons maintenant d’une part 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 et d’autre part 𝐴𝐶 2 .
2

2

𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = (√73) + (√29) = 73 + 29 = 102
𝐴𝐶 2 = 102 = 100
Comme 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 ≠ 𝐴𝐶 2 , d’après la contraposée du théorème de Pythagore, nous
pouvons dire que le triangle ABC n’est pas rectangle.

4) Calculons la longueur IJ afin de vérifier que BC=2IJ.
Ici on a :

𝑥𝐼 = −3,5
𝑥𝐽 = −1

𝑦𝐼 = 1
𝑦𝐽 = 2

Pour trouver la distance entre le point I et le point J, j’applique la formule du cours :
2

2

IJ=√(𝑥𝐽 − 𝑥𝐼 ) + (𝑦𝐽 − 𝑦𝐼 ) = √(−1 − (−3,5))2 + (2 − 1)2 = √(2,5)2 + 12 =
√6,25 + 1 = √7,25
Ainsi 2𝐼𝐽 = 2 × √7,25 = √4 × √7,25 = √4 × 7,25 = √29 = 𝐵𝐶
Donc BC=2IJ.

Exercice 2 :

1)

Ici on a : 𝑥𝐴 = 1
𝑥𝐶 = 0

𝑦𝐴 = −1
𝑦𝐶 = 6

On applique la formule :
𝑥𝐴 + 𝑥𝐶 1 + 0 1
=
= = 0,5
2
2
2
𝑦𝐴 + 𝑦𝐶 −1 + 6 5
=
= = 2,5
2
2
2
Donc le milieu de [AC] a pour coordonnées (0,5 ; 2,5).

2)

Ici on a : 𝑥𝐵 = −2
𝑥𝐷 = 3

𝑦𝐵 = 0

𝑦𝐷 = 5

On applique la formule :
𝑥𝐵 + 𝑥𝐷 −2 + 3 1
=
= = 0,5
2
2
2
𝑦𝐵 + 𝑦𝐷 0 + 5 5
=
= = 2,5
2
2
2
Donc le milieu de [BD] a pour coordonnées (0,5 ; 2,5).

3) On sait que : si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors ce
quadrilatère est un parallélogramme (rappel de collège). Ici les diagonales du
quadrilatère [AC] et [BD] possèdent toutes les deux le point de coordonnées (0,5 ;
2,5) comme milieu. Donc les diagonales se coupent en leur milieu et ainsi ABCD est
un parallélogramme.
Il faut maintenant déterminer si le quadrilatère peut-être plus qu’un parallélogramme :
rectangle, carré, losange…
Pour cela, nous devons calculer des longueurs au sein de ce quadrilatère :
AB=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(−2 − 1)2 + (0 − (−1))2 = √(−3)2 + 12 = √9 + 1 =
√10

BC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(0 − (−2))2 + (−6 − 0)2 = √22 + (−6)2 =
√4 + 36 = √40
Comme les côtés AB et BC (qui sont adjacents) n’ont pas la même longueur, ABCD ne peut
être ni un carré ni un losange.
Il ne reste plus qu’à déterminer si le quadrilatère peut être un rectangle.
Rappel du collège : Un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle.
AC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 = √(0 − 1)2 + (6 − (−1))2 = √(−1)2 + 72 = √1 + 49 =
√50

Calculons 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 d’une part et 𝐴𝐶 2 d’autre part :
2

2

𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = √10 + √40 = 10 + 40 = 50
2

𝐴𝐶 2 = √50 = 50

Ainsi 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 𝐴𝐶 2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
ABC est rectangle en B. Ainsi le parallélogramme ABCD possède un angle droit : c’est un
rectangle.

Exercice 3 :

a)

AB=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(−1 − 4)2 + (5 − 1)2 = √(−5)2 + 42 = √25 + 16 =
√41
BC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(−2 − (−1))2 + (−1 − 5)2 = √(−1)2 + (−6)2 =
√1 + 36 = √37
AC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 = √(−2 − 4)2 + (−1 − 1)2 = √(−6)2 + (−2)2 =
√36 + 4 = √40
D’après les calculs, le triangle ne peut être ni isocèle ni équilatéral car les trois longueurs de
côtés sont différentes.
De plus, 𝐴𝐶 2 + 𝐵𝐶 2 = 37 + 40 = 77 et 𝐴𝐵 2 = 41
Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, Le triangle ACB n’est pas rectangle.
Ainsi, le triangle ACB est quelconque.

b)

AB=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(−1 − 6)2 + (−4 − (−5))2 = √(−7)2 + 12 =
√49 + 1 = √50
BC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(−0,5 − (−1))2 + (−0,5 − (−4))2 =
√(0,5)2 + (3,5)2 = √0,25 + 12,25 = √12,5
AC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 = √(−0,5 − 6)2 + (−0,5 − (−5))2 = √(−6,5)2 + 4,52 =
√42,25 + 20,25 = √62,5

D’après les calculs, le triangle ne peut être ni isocèle ni équilatéral car les trois longueurs de
côtés sont différentes.
De plus, 𝐴𝐵 2 + 𝐵𝐶 2 = 50 + 12,5 = 62,5 et 𝐴𝐶 2 = 62,5
Donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

c)

AB=√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 )2 = √(4 − (−2))2 + (0 − 4)2 = √62 + (−4)2 =
√36 + 16 = √52
BC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐵 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐵 )2 = √(−3 − 4)2 + (−4 − 0)2 = √(−7)2 + (−4)2 =
√49 + 16 = √65
AC=√(𝑥𝐶 − 𝑥𝐴 )2 + (𝑦𝐶 − 𝑦𝐴 )2 = √(−3 − (−2))2 + (−4 − 4)2 = √(−1)2 + (−8)2 =
√1 + 64 = √65

Ainsi les longueurs BC et AC sont identiques donc le triangle ABC est isocèle en C. Il n’est
cependant pas équilatéral car AB n’a pas la même longueur que les deux autres côtés.
De plus, 𝐴𝐶 2 + 𝐴𝐵 2 = 65 + 52 = 117 et 𝐵𝐶 2 = 65
Donc d’après la contraposée du théorème de Pythagore, Le triangle ABC n’est pas rectangle.