Cours 3 2 de Chimie 1 MODELE DE ROTHERFORD

COURS N°3-2 DE CHIMIE 1 (ST-SM)
« MODELE CLASSIQUE DE L’ATOME »
III.5. MODELE DE RUTHERFORD
III.5.1. Le modèle de l’atome d’hydrogène proposé par Rutherford et Perrin
III.5.1.1. Hypothèse
• Un électron (e-) tourne au tour d’un proton de charge e+ en parcourant d’un mouvement uniforme une orbite circulaire
de rayon r ;
• La stabilité mécanique résulte de la compensation des forces électrostatiques par les forces centrifuges dues à la
rotation de l’électron au tour du noyau ;
A partir de ces deux hypothèses et en employant les lois de la mécanique classique et la loi de coulomb ; nous allons
retrouver les expressions suivantes :
III.5.1.2. Forces agissant sur l’électron « atome d’Hydrogène »
III.5.1.1.1. Force d’attraction électrostatique

F1 = −

e2
1
, avec ε 0 : permittivité du vide et
=k=9 109 MKSA
2
r
4πε 0

1
4πε 0

F2

at
an

III.5.1.1.2. Force centrifuge

e

Ze

ρ
ρ
ρ ρ
dv
F2 = m e γ T = me (γ n + γ t ) ; Vitesse de le- est constante => γ t =
= 0 et
dt
v2
v2
F
m
=
γn =
=> 2
e
r
r

-

F1
R

L’électron étant animé d’une vitesse constante sur sa trajectoire, ne peut demeurer sur la trajectoire de rayon r que si :

ρ ρ ρ
ρ
ρ
F1 + F2 = 0 ⇒ F1 = F2 =>

1
4πε 0

e2
v2
=
m
…………………………………………………………..………….(1)
e
r
r2

III.5.1.3. Energie de l’électron
C’est la somme de son énergie potentielle Ep et de son énergie cinétique Ec, E= Ep + Ec.
III.5.1.3.1. Energie cinétique
L’énergie cinétique Ec due au mouvement de l’électron autour du noyau : E c

=

1

2

m e v 2 ………………………….(2)

III.5.1.3.2. Energie potentielle
Elle est due à l’attraction du noyau, c’est l’énergie nécessaire pour amener l’électron de l’infini (où son énergie est
nulle (par convention)) à la distance r du noyau.

Ep = −

e2

4πε 0 r

r

r

∞

∞

E p = − ∫ F1 dr = ∫

e2
4πε 0 r 2

r


e2 
dr = −
 D’où :
 4πε 0 r  ∞

…………………………………………………………………………………………………………….(3)

e2

1
1
e2
2
L’énergie totale est donc : E = −
+ m e v , et d’après la formule (1) :
= v2
4πε 0 r 2
4πε 0 r me
e2

1
1
e2
e2
1
e2
=> E = −
+ m
=
(−1 + ) => E = −
…………………………………….(4)
/e
4πε 0 r 2
4πε 0 r m
2
8πε 0 r
/ e 4πε 0 r
Le modèle de l’atome de l’Hydrogène proposé par Rutherford et Perrin est en contradiction avec l’expérience :
Ce modèle laisse prévoir
1- Un rayonnement spontané : l’e- en mouvement dans
un champ électromagnétique rayonne de l’énergie
(onde électromagnétique, théorie classique) ;
2- Un atome instable : lorsque l’atome rayonne, son
énergie diminue (la valeur absolue de E augmente)
car E<0 ce qui entraîne une diminution de rayon r
donc finalement chute de l’électron sur le noyau ;
3- La variation continue de r entraîne la diminution de
E et un rayonnement continu.

L’expérience montre que
1- L’atome de l’Hydrogène dans son état fondamental
ne rayon pas. (reste sur son orbite) ;
2-

L’atome d’Hydrogène est stable ;

3- Le spectre d’émission de l’atome d’Hydrogène est
un spectre de raies (discontinu).

1

MOUSSACEB

III.6. MODELE DE BOHR
Ce modèle repose sur la théorie des quantas (Planck) selon laquelle l’échange d’énergie entre la matière et le
rayonnement ne s’effectue que par quantité finies. Le modèle de Bohr constitua une importante avancée théorique dans
l'interprétation des spectres atomiques. Il ne s’applique qu’aux édifices atomiques les plus simples ne possédant qu'un seul
électron. De tels édifices atomiques sont appelés Hydrogénoïdes : H, He+, Li2+ etc.
Le modèle de Bohr repose sur deux postulas :
III.6.1. Hypothèses de Bohr
III.6.1.1. Hypothèse des orbites stationnaires
Dans le modèle atomique de Bohr, l'électron tourne autour du noyau en suivant un mouvement circulaire uniforme sur
une orbite de rayon R. La seule force présente est l'attraction Coulombienne entre l'électron chargé négativement et les Z
protons du noyau chargés positivement. (Le poids des électrons est considéré comme négligeable).
En résumé, l’e- gravite sur des orbites circulaires privilégiées, appelés orbites stationnaires, son rayonner d’énergie.
Son énergie propre reste constante, tant qu’il demeure sur l’une de ces orbites.
III.6.1.2. Hypothèse de quantification
Pour "sauter" d'une orbite à une autre l'électron devra absorber ou émettre un photon dont l'énergie devra correspondre
à l'écart d'énergie des deux orbites concernées. L’échange d’énergie entre l’électron et l’extérieure de l’atome se fait par
quantum et correspond au passage de l’e- d’une orbite stationnaire caractérisée par un niveau d’énergie Ep à une autre orbite
stationnaire caractérisée par un niveau d’énergie En. L'énergie correspondante est la différence d'énergie ∆E entre le niveau
de départ et le niveau d'arrivée de l'électron :

∆E n, p = E n − E p = hν , avec n>p.

III.6.2. Interprétation mathématique des hypothèses de Bohr
Le seul problème est que rien en mécanique classique ne permet de justifier que seules certaines orbites de rayons
bien définis soient permises à l'exclusion de toutes autres. Pour rendre compte de cela Bohr dû quantifier son modèle. Il postula
alors de manière purement arbitraire que le moment cinétique m v R de l'électron était quantifié et ne pouvait prendre que
certaines valeurs multiples de h / 2 π.

ρ
ρ ρ
P = me (v ∧ r ) = me v r sin ϕ , ϕ =90° => sin ϕ =1 et P = m e v r

ρ
ρ ρ
P = me v ∧ r

ρ

me, v
Ce moment cinétique est représenté par un vecteur perpendiculaire à la trajectoire, son v
module (produit de la quantité de mouvement me v par le rayon r de l’orbite est égale à un

-

ϕ

e

h
…………………………………….(5)
nombre entier de fois h/2π. Donc : P = m e v r = n
2π

ρ
r

III.6.2.1. Rayon des orbites stationnaires
Les

relations

(1)

et

(5)

conduisent

à:

(1)

=>

e2
v2
e2
k 2 = me
⇒r=k
r/
r/
me v 2

et

(5)

2
h
n2h2
e 2 4π 2 m
n2h2
/ e r/
=> m e v r = n
⇒ v2 =
=>
r
=
k
⇒
r
=
,
/
n
2 2
2
2π
m
4π 2 k me e 2
4π 2 me r 2
/e n h
2

donc : rn =

n2h2
…………………………………………………………………..…………………………..…….(6)
4π 2 k me e 2

donc : r n = n 2

h 2 4/ ε 0 π/
4/ π/

2

mee

2

⇒ rn = n 2

h 2ε 0

π mee

2

⇒ rn = n 2 a 0

⇒

a0=

h 2ε

0

π m ee 2

= 0 . 529 A 0 , c ' est le rayon de Bohr

III.6.2.2. Energie de l’électron sur une orbite stationnaire

2k 2 e 4π 2 me
E
ke 2
k ke 2 4π 2 me
E
= − e2
⇒
=
−
⇒ E n = 21 ,
2 2
2 2
2r
2
h n
h n
n
13.6
joule ( j ) = −13.6 eV = − R D’où : E n = − 2 (eV ) .
n

En combinant les équations (4) et (6), on obtient :

2k 2 e 4π 2 me
avec : E1 = −
= −21.80 10 −19
2
h

E=−

III.6.3. Interprétation par la théorie de Bohr du spectre d’émission de l’atome d’hydrogène
Lorsque l’électron passe d’une orbite n1 de niveau d’énergie E1 à une orbite n2 de niveau d’énergie E2, la variation
d’énergie ∆E2,1 est exprimée par la relation suivante :

2k 2 e 4π 2 me 2k 2 e 4π 2 me
2k 2 e 4π 2 me 1
1
∆E 2,1 = E 2 − E1 = −
+
⇒ ∆E 2,1 =
( 2 − 2 ),
2 2
2 2
2
h n2
h n1
h
n1 n2

cette

variation

d’énergie

correspond à une radiation lumineuse de fréquence ν tel que : ∆E2,1= h ν

2

MOUSSACEB

D’où,ν

=

∆ E 2 ,1
h

2 k 2 e 4π 2 m e 1
1
=
( 2 − 2 ) , en faisant apparaître le nombre d’onde de la radiation lumineuse :
3
h
n1 n 2

2k 2 e 4π 2 me 1
1
C = λν ⇒ σ = = ⇒ =
( 2 − 2 ) …………………………………………………….……… ….(7)
3
h c
n1 n2
λ C
λ
1

ν

1

2k 2 e 4π 2 me
Posant RH =
……………………………………………………………………………………………………(8)
h3 c
1
1
On trouve la formule de RITZ : σ = RH ( 2 − 2 ) ………………………………………………………………………..…(9)
n1 n2
Avec ; RH= 1.097373 107m-1 (constante de Rydberg).
Remarque : il est remarquable que sa valeur expérimentale (déterminée par Balmer) soit très proche de celle calculée à partir
de la relation (8).
II.6.4. Ions Hydrogénoïdes
La théorie de Bohr n’est pas générale, elle ne s’applique qu’à l’atome d’Hydrogène et aux ions Hydrogénoides,
constituées par un noyau de charge +Ze autour duquel gravite un seul électron.
Exp : He (Z=2) donne l’Hydrogénoïde He+, Li (Z=3) donne l’Hydrogénoïde Li+2.
Remarque : La force électrostatique exercée entre le noyau et l’électron est alors : F1 = − k Z

e2
, un calcul analogue à celui
r2

de l’Hydrogène conduit à :
III.6.4.1. Rayon d’un Hydrogénoïde :

n 2h 2
rn =
⇒ r Hydrogénoi
4π 2 k m e e 2 Z

de

=

r Hydrogène
Z

………………………………………………………….(10)

III.6.4.2. Energie d’un électron dans l’atome Hydrogénoïde :
2 k 2 e 4π 2 m e
E Hydrogénoi de = −
Z 2 ⇒ E Hydrogénoi de = E Hydrogène Z 2 …………………………………………...(11)
h 2n 2
III.6.4.3. Le nombre d’onde d’un Hydrogénoïde :
1
1
1
σ =
= R Hydrogène Z 2 ( 2 − 2 )
⇒ R Hydrogénoi de = R Hydrogène Z 2 …………………………………………(12)
λ
n1
n2
III.6.4.4. Potentiel (Energie d’ionisation) de l’Hydrogène
Le passage de l’électron de l’état fondamental de l’atome d’Hydrogène (n1=1) d’énergie E1 à l’état ionisé d’énergie
nulle nécessite un apport d’énergie égale en valeur absolue à E1, mais E1 étant négatif, il faut fournir à l’atome : Ei=- E1= 13.6
eV, d’où : Ei=E∞- E1= E1(énergie d’ionisation).
Remarque : l’ionisation de l’atome d’hydrogène peut être provoquée en bombardant celui-ci par un électron possédant
l’énergie E1 accéléré sous l’action accélératrice d’une différence de potentiel Vi avec : Ei=+E1=Vi e, avec Vi=(me
e3)/8ζ0h2)=13.6 V.
De la même façon la théorie de Bohr permet de calculer le potentiel d’ionisation d’un ion hydrogénoïde. Ion
hydrogénïode → cation + e-, exp : Li+2→ Li+3+e-.
Ei=E∞-E1 =>

Ei = −

2k 2 e 4 π 2 m e
h

2

.Z 2 ⇒ E i = − E1 .Z 2 ⇒ E i = 13.6 .Z 2

III.7. Insuffisance du modèle de Bohr
Finalement, le modèle de Bohr permet de retrouver simplement les résultats expérimentaux dans le cas de l'atome
d'hydrogène. Ce modèle fut donc reçu avec enthousiasme par les physiciens, Bohr reçu d'ailleurs le prix Nobel en 1922.
Malheureusement, il ne permit pas de décrire avec succès les spectres des atomes poly électroniques.
On chercha donc à l'améliorer, Sommerfield proposa de compliquer le modèle en faisant intervenir des orbites elliptiques au
lieu des simples orbites circulaires de Bohr (on retrouve l'analogie du système solaire avec les orbites elliptiques de Kepler).
Cette modification entraîne l'apparition de deux autres nombres quantiques (l et m), mais ne permet pas non plus de décrire
correctement les gros atomes. Ce modèle fut donc finalement abandonné et remplacé par le modèle quantique (ou ondulatoire)
que nous étudierons en deuxième période.

3

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