devoir de synthese n 2 Troisieme science Bouhouch Ameur

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Durée: 3h

N.B :
*Le sujet comporte trois pages numérotées de 1 à 3 et une page annexe à compléter et à rendre avec votre copie.
*La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante lors
de l’appréciation des copies…

Exercice n°1: ( 5 pts)

(

)

r r r
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé o, i , j , k , on donne les points A (2,0,0) , B (1,1,4) ,

C (0,0,4) et D (1,−1,0) .
1) a) Montrer que le triangle ABC est rectangle en B.
b) Montrer que les points A, B et C déterminent un plan P d’équation 2 x − 2 y + z − 4 = 0 .
c) Montrer que ABCD est un rectangle.
2) Soit le point S (7,−6,5) .
a) Vérifier que S∉ P.
b) Donner une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par S et perpendiculaire à P.
c) Déterminer les coordonnées du point I intersection de ∆ et P.
d) Vérifier que I est le centre du rectangle ABCD.
3) Une fourmi se déplace sur les arêtes de la pyramide SABCD (Voir figure).
Depuis un sommet quelconque, elle se dirige de manière aléatoire vers un
sommet voisin : on dit qu’elle « fait un pas » .
a) La fourmi se trouve en S.
Après avoir fait un pas, Quelle est la probabilité qu’elle soit en A.
b) La fourmi est en A.
après avoir fait deux pas, Montrer que la probabilité qu’elle soit en A est égale à

11
.
36

Exercice n°2: (5.5 pts)
A) Soit f la fonction définie sur IR par f ( x) =
dans un repère orthonormé (o, i , j ) .

rr

2x
1 +x2

on désigne par (C) sa représentation graphique

1) Etudier la parité de f. Interpréter graphiquement ce résultat.
Dans la page annexe, on a représenté la courbe de la restriction de f à l’intervalle [0,+∞[ ainsi que
sa demi tangente à droite du point O.

1/3

a) Achever la construction de la courbe (C) et tracer la droite ∆ : y = x .
b) Soit A le point d’intersection de (C) et ∆ d’abscisse positive.
Vérifier que f

( 3)=

3 puis déduire que OA = 6 .

c) Etudier la position relative de (C) et ∆ .

2) Soit g la fonction définie sur [− 6 , 6 ] par g( x ) = 6 − x 2 . On désigne par (C’) sa représentation
graphique dans ce même repère.
a) Etudier la parité de g . Interpréter graphiquement ce résultat.
b) Etudier la dérivabilité de g à gauche en
c) Montrer que g' ( x) =

−x
6 −x2

6 . Interpréter graphiquement ce résultat.

]

[

pour tout x ∈ − 6 , 6 puis dresser le tableau de variation de g .

2
2
3) a) Montrer que si M ( x, y ) ∈ (C’) alors x + y = 6 et déduire que (C’) est un demi-cercle dont on
précisera le centre et le rayon.
b) Tracer dans ce même repère la courbe (C’).
4) a) Déterminer par deux méthodes différentes une équation de la tangente T à (C’) en A.
b) Tracer T.

Exercice n°3: ( 5 pts)
Une urne contient 25 jetons répartis comme suit :
• Trois jetons blancs numérotés de 1 à 3.
• Deux jetons verts numérotés 1 et 2.
• 20 jetons rouges numérotés de 1 à 20.
Tous les jetons sont indiscernables au toucher.
I) On tire simultanément et au hasard deux jetons de l’urne et on désigne par E l’univers de tous
les cas possibles.
On considère les évènements suivants :
A : « Avoir deux jetons de même couleur »
B : « avoir au moins un jeton rouge »
C : « La somme des nombres marqués sur les deux jetons tirés est égale à 20 ».
1) Vérifier que card(E)=300.
2) Déterminer p(A) et p(B).
3) Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à

2
.
75

II) On tire successivement et sans remise trois jetons de l’urne. Calculer la probabilité de chacun
des évènements suivants :
F : « Avoir trois jetons de même couleur »
G : « Avoir trois jetons tricolores »
III) On effectue, maintenant, un tirage de deux jetons de cette urne de la manière suivante :
On tire un premier jeton :
* s’il est rouge, on ne le remet pas dans l’urne et on tire un deuxième jeton.
2/3

* s’il n’est pas rouge, on le remet dans l’urne, et on tire un deuxième jeton.
a) Etablir un arbre de choix.
b) Montrer que la probabilité d’avoir un seul jeton rouge est égale à

49
.
150

Exercice n°4: ( 4.5 pts)
Soit la suite réelle (U n )

U 0 = 0

définie sur IN par 
1 2
U n +1 = 1 + U n
2


, n ∈ IN

1) a) Calculer U1 et U 2 .

b) Montrer que la suite (U n ) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) a) Montrer que, pour tout n ∈ IN , on a : 0 ≤ U n < 2 .
b) Montrer que (U n ) est croissante.

3) a) Vérifier que

Un + 2
< 1 , puis déduire que
U n +1 + 2

b) Montrer que 2 − U n ≤

2
2n

2 − U n +1 ≤

1
2

(

)

2 − U n pour tout n ∈ IN .

pour tout n ∈ IN .

c) Calculer, alors, la limite de la suite (U n ) .

2
4) Soit la suite (Vn ) définie sur IN par Vn = −2 + U n .

a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique que l'on caractérisera.
b) En déduire Vn puis U n en fonction de n.

c) Retrouver, alors, la limite de la suite (U n ) .

« Le terrorisme mathématique. Celui-ci consiste à utiliser le prestige des mathématiques dans le
but de confondre, tromper ou autrement embrouiller les gens à qui l'on s'adresse ».
**Normand Baillargeon**

BON TRAVAIL

3/3

Page annexe à rendre avec la copie de l’examen
Nom et Prénom :………………………………………………………………………………………..

4/3