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1.Sc.Exp.Biof
D´erivabilit´e et e´ tude de fonction

f(x)
f(x)
puis lim
.
x→+∞ x
x
6. Donner l’´equation du tangente de (Cf ) en a = 0.

Exercice 1. .
Soit la fonction d´efinie par :
f : x 7Ï x 3 − 3x.

5. Calculer lim

x→+∞

7. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec l’axe
des abscisses. (R´esoudre l’´equation f(x) = 0.)

1. D´eterminer Df l’ensemble de d´efinition de f et calculer ses limites au bornes.
2. Trouver la d´eriv´ee de f et donner son tableau de variations.
3. D´eterminer l’´equation de (D) tangente de (Cf ) en
O(0, 0) .
4. Construire (D) et (Cf ) dans le mˆeme rep`ere.

Exercice 5. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
2x − 1
f(x) =
.
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. Calculer les limites de f au bornes de Df et interpr´eter chaque r´esultat trouv´e.

Exercice 2. .
Soit la fonction
f d´efinie par :
√
2
f(x) = 2x x − 2x.

2. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df 0 .

ch

3. Dresser le tableau de variations de f.

1. D´eterminer Df .

4. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec les
axes du rep`ere.

ou

2. Calculer les limites de f au bornes de Df .
´
3. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` gauche en 0 et a
` droite
en 2.

m

5. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df .

ja

4. Donner une interpr´etation g´eom´etrique des r´esultats
trouv´es.
6. Dresser le tableau de variations de f.

5. Construire (Cf ).

Exercice 6. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
2x 2 − x
f(x) =
.
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. Calculer lim+ f(x) et lim+ f(x). Que peut-on dire ?

A

Exercice 3. .

x→1

f.

1. On consid`ere la fonction g telle que :
g(x) = x 4 + 4x + 3

x→1

2. Calculer lim f(x) et lim
x→+∞

ro

Conclure ?

(a) Calculer les limites de g au voisinage de +∞ et
−∞.

x→+∞

f(x)
et puis lim f(x)−2x.
x→+∞
x

3. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df 0 .
4. Dresser le tableau de variations de f.

P

(b) D´eterminer g 0 (x) pour tout x dans R.

5. D´eterminer les points d’intersection de (Cf ) avec l’axe
des abscisses.

(c) D´eduire le tableau de variation de g.
(d) D´eduire le signe de g(x).

6. Construire (Cf ).

2. Soit la fonction f d´efinie par :
x 4 + 2x 3 − 2x − 1
f(x) =
.
x3
(a) D´eterminer Df .

Exercice 7. .
Soit la fonction : f : x 7Ï x 3 − 6x 2 + 9x − 2
(Cf ) dans un rep`ere orthonorm´e.

(b) Calculer les limites de f au bornes de Df .

1. Calculer les limites de f en −∞ et +∞.

g(x)
pour tout x de Df .
x4
(d) Dresser le tableau de variations de f.

2. D´eterminer les branches infinies de (Cf ).

(e) Donner une approximation affine de f au voisinage de a = 1 puis de d´eduire une valeur approch´ee de f(0.998) et de f(1.001).

4. Calculer f 00 (x) et d´eduire la concavit´e de (Cf ).

(c) Montrer que f 0 (x) =

Exercice 4. .
Soit la fonction f d´efinie par :
1
f(x) = x + √
.
2
x +1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer Df .
2. Calculer les limites de f au bornes de Df .

3. D´eterminer f 0 (x) puis dresser le tableau de variations
de f sur R.
5. Trouver les points d’intersections de C(f) avec l’axe
des abscisses.
6. Dresser (Cf ).
Exercice 8. .
Soit f la fonction a
` variable r´eel x :
x 2 − 2x + 5
f : x 7Ï
x−1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.
1. (a) Trouver Df et calculer les limites de f au bornes
de Df .

(b) D´eterminer les branches infinies de Cf .

3. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de R.
4. Dresser le tableau de variations de f.
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1.Sc.Exp.Biof
D´erivabilit´e et e´ tude de fonction

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´
(c) Etudier
la position relative de Cf avec l’asymp´
tote oblique. Etudier
le signe de f(x) − y.

´
(d) Etudier
la position relative de (Cf ) et la droite
d’´equation y = −2x
2. (a) Montrer que ; pour tout x ∈ R
f(x) > 0.

2. D´eterminer f 0 (x) puis dresser le tableau de variations
de f.

(b) Montrer que ; pour tout x ∈ R
−f(x)
.
f 0 (x) = √
1 + x2
(c) Donner le tableau de variations de f.

3. Montrer que Ω(1; 0) est un centre de sym´etrie de (Cf ).
montrer que : f(2a − x) + f(x) = 2b.
4. Construire (Cf ).
Exercice 9. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :
1 √ 2
f(x) =
x − 1.
x+1
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.

3. Construire (Cf ).

ch

Exercice 12. .
On consid`ere la fonction f d´efinie par :

1. D´eterminer Df .
2. (a) Calculer les limites de f au bornes de Df .

1. (a) D´eterminer Df .
(b) Calculer lim f(x).

ja

Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.
1
√
4. Montrer que f 0 (x) =
pour tout x de
(x + 1). x 2 − 1
Df 0 .

0

m

2. (a) Montrer que ; pour tout x ∈ Df
x−2
√
.
f 0 (x) =
2(x − 1) x − 1
(b) Donner le tableau de variations de f.

A

f.

3. Construire (Cf ).

ro

Exercice 10. .
On consid`
√ ere la fonction f d´efinie par :
f(x) = x 2 − x − 2.
(Cf ) sa courbe dans rep`ere orthonorm´e.

P

Exercice 13. .
On consid`ere la fonction
√ f d´efinie par :
f(x) = x x − 1

1. D´eterminer Df .

1. D´eterminer Df le domaine de d´efinition de f. puis
calculer lim f(x).

f(x)
.
x→+∞
x→+∞ x
3. D´eterminer les branches infinies de (Cf ) au voisinage de +∞ et −∞.
´
4. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` droite en 2 et a
` gauche
en 1. Interpr´eter les r´esultats.

2. Calculer lim f(x) et lim

x→+∞

´
2. a- Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` droite en 1 puis interpr´eter le r´esultat.
3x − 2
b- Montrer que :
∀x > 1 f 0 (x) = √
2 x−1
c- Dresser le tableau de variations de f.

5. D´eterminer f 0 (x) pour tout x de Df 0 .

3. a- Montrer que :

6. Dresser le tableau de variations de f.
7. Montrer que la droite d’´equation x =
de sym´etrie de (Cf ) .

(∀x
>
1) f 00 (x)
=
3x − 4
√
4(x − 1) x − 1
´
b- Etudier
la concavit´e de (Cf ) en pr´ecisant ses d’inflexion. (Cf ) .
´
4. a- Etudier
les branches infinies de (Cf ) .

1
est un axe
2

8. Construire (Cf ).
Exercice 11. . On consid`ere la fonction f d´efinie par :
p
f(x) = 1 + x 2 − x.

b- Calculer f(2) puis construire (Cf ) dans un rep`ere
orthonorm´e.
ÊÏ
ÊÏ
avec || i || = || j || = 3cm .

(Cf ) la courbe de f dans un rep`ere orthonorm´e.
1. (a) D´eterminer Df .
(b) Calculer lim f(x) puis donner une interpr´etation
x→+∞

g´eom´etrique du r´esultat.
(c) Calculer les limites suivantes :
f(x)
lim f(x) et lim
et lim f(x) + 2x.
x→−∞
x→−∞ x
x→−∞
Donner une interpr´etation.
26 avril 2019

x→+∞

´
(c) Etudier
les branches infinies de (Cf ) .

5. Dresser le tableau de variations de f sur Df .
6. Construire (Cf ).

x
.
x−1

(Cf ) la courbe de f dans un rep`ere orthonorm´e.

ou

(b) D´eduire les branches infinies de (Cf ).
´
3. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` droite en 1.

f(x) = √

Exercice 14. .
On consid`
rere la fonction d´efinie par :
x−1
f : x 7Ï x
x+1
(Cf ) sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer Df . Et calculer les limites de f au bornes
de f.

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2018/2019

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1.Sc.Exp.Biof
D´erivabilit´e et e´ tude de fonction

´
2. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` droite en 1.

1. D´eterminer Df =] − ∞; 1] ∪ [3; +∞[

3. D´eterminer la d´eriv´ee de f puis d´eduire le tableau
de variations de f.

2. Montrer (Cf ) la droite (∆) : x = 2 comme axe de
sym´etrie.

4. (a) Montrer que : (∀x ∈ Df − {1}) :
r
r
x−1
x
x+1
0
f (x) =
+
.
2
x + 1 (x + 1)
x−1
(b) D´eduire que : (∀x ∈ Df − {1}) :
x−2
q
f 00 (x) =
.
(x 2 − 1).(x + 1)2 . x−1
x+1

3. Calculer les limites de f au voisinage de +∞ et −∞.
4. Montrer que (Cf ) admet une asymptote oblique
d’´equation y = x − 2 au voisinage de +∞.
´
5. Etudier
la d´erivabilit´e de f a
` droite en x0 = 3 et interpr´eter le r´esultat g´eom´etriquement.
6. D´eterminer f 0 (x) Puis d´eduire le tableau de variations de f.

´
(c) Etudier
la concavit´e de (Cf ).

7. Construire (Cf ).

ch

5. D´eterminer les branches infinies de (Cf ).

ja

Exercice 15. .
On consid`ere la fonction d´efinie par :
x+1
f : x 7Ï x + 1 −
x2
(Cf ) sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e.

ou

6. Construire (Cf ).

m

1. D´eterminer Df . Et calculer les limites de f au bornes
de f.
2. D´eterminer les branches infinies de (Cf ).

4. Montrer que

f.

A

3. D´eterminer la position relative de (Cf ) avec son
asymptote oblique.
(x + 1)(x 2 − x + 2)
x3
D´eduire le tableau de variations de f.

P

5. Montrer que

ro

(∀x ∈ R∗ ) f 0 (x) =

−2(x + 3)
x4
D´eduire la convexit´e de (Cf ) et ses points d’inflexion.
(∀x ∈ R∗ ) f 00 (x) =

6. Construire (Cf ).
Exercice 16. .
On consid`ere la fonction d´efinie par :
x+1
f : x 7Ï 2
x + 2x
(Cf ) sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e.
1. D´eterminer Df . Et calculer les limites de f au bornes
de f.
2. D´eterminer les branches infinies de (Cf ).
3. Montrer que
(x + 1)2 (x 2 + 2x − 2)
(x 2 + 2x)2
D´eduire le tableau de variations de f.
(∀x ∈ R∗ ) f 0 (x) =

4. Montrer que Ω(−1; 0) est un centre de sym´etrie de
(Cf ).
(M.q : f(2a − x) + f(x) = 2b avec Ω(a; b)
5. Construire (Cf ).
Exercice 17. .
On consid`
p ere la fonction d´efinie par :
f : x 7Ï x 2 − 4x + 3
(Cf ) sa courbe dans un rep`ere orthonorm´e.
26 avril 2019

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