Série d'éxercices fonction exponentielles bac Eco Gestion

4ème Eco-gestion
Tunis ,Tél :27509639

Série d’exercices :
Fonctions Exponentielles

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014
Exercice n°1 :
Calculer les limites suivantes :
; lim

lim

x

; lim

x

 ex 
lim  x 
x +  e +x



;

x

 lnx 
; lim  x 
x  e 

; lim

x

;

lim

x

; lim

;

x

;

lim

x

 ex 
lim 
.
x 1
 x+1 

Exercice n°2 :
1) Résoudre dans IR les équations suivantes :
a) e2 x  4e x  0
b) e2 x  2e x  1  0
2) Résoudre dans IR les inéquations suivantes :
a) 1  e x  0
b) 3  2e x  0

c) 2e2 x  e x  ln(0,1) .

.

c)

Exercice n°3 :
1) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a)
b)
c)
d)
2) Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes:
b)

.

c)

d)

.

Exercice n°4:
On note l’ensemble des nombres réels et on considère la fonction f définie sur par : f ( x)  xe x 1  1 .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
1) a) Déterminer la limite de f en − . Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
b) Déterminer la limite de f en + .
2) a) Montrer que pour tout x
f ‘(x)   x 1 ex1 .
b) Dresser le tableau de variations de f.
3) Ecrire l’équation de la tangente T à C au point d’abscisse 1.
4) Tracer C et T .

Exercice n°5 :
On considère la fonction f définie pour tout x

On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé
la fonction exponentielle.
1) a) Déterminer la limite de f en + .
b) Calculer lim x 2e x et lim xe x .
x

c) En déduire que





par : f ( x)  x 2  x  1 e x

.On note

x

lim

x

f ( x)  0 . Interpréter graphiquement le résultat.

2) a) Montrer que pour tout x

f '( x)  ( x  1)( x  2)e x .

b) Etudier le signe de f '( x) sur .
c) En déduire le tableau de variations de la fonction f .
3) Déterminer le signe de f sur .
4) a) Préciser les positions relatives de C et de Cexp .

Cexp la courbe représentative de

b) Construire ces deux courbes dans le repère
5) Soit F la fonction définie sur



.



par : F ( x)  x  x  2 e x
2

Prouver que F est une primitive de f sur .
Exercice n°6 :
On considère la fonction f définie pour tout x
par : f ( x)  xe x  1 .
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
1) a) Déterminer la limite de f en + .
b) Déterminer la limite de f en − . Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
2) a) Calculer f '( x) pour tout x
.
b) Dresser le tableau de variation de f.
3) Justifier que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle [0 ; 1].
Donner un encadrement de α à 10-2 prés.
4) Démontrer qu’une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0 est y= x-1.
5) a) Tracer C et T.
b) Quelle conjecture peut-on faire sur la position de la courbe C par rapport à la droite T ?
Exercice n°7 :
La courbe C f représenter ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé
d’une fonction f définie et dérivable sur .
 La tangente (T) à la courbe C f au point A(0,3) passe par le point B(1,5).
 La droite D d’équation y =1 est asymptote horizontale à

Cf

au voisinage de + .

1) En utilisant les données et le graphique :
a) Déterminer f(0) et f’(0).
b) Préciser lim f ( x) .
x

2) Déterminer une équation de la tangente (T) à

Cf

au point A.

ax  b
.
ex
a) Déterminer l’expression de f '( x) en fonction de a, b et x .
b) En déduire l’expression de f (x) pour tout x
.
4 x  6
4) Soit F la fonction définie et dérivable sur par : F ( x)  x 
. Vérifier que F est la
ex
primitive de f sur .
Exercice n°8 :
Soit la fonction f définie sur par : f(x)= 1-x  ex .On note (C) la courbe représentative de f dans un

3) On admet que la fonction f définie sur

repère orthonormé

par :

f ( x)  1 

(figure ci-dessous). (T) la tangente à (C) au point d’abscisse 1.

A) En utilisant ce graphique, répondre aux questions suivantes.
1) Calculer f ‘(0) et f ‘(1).
f ( x)
2) lim
.
x x
3) Déterminer le signe de f(x) selon les valeurs du réel x.
B) 1) Calculer la limite de f en
. Interpréter graphiquement le résultat.
2) Calculer la limite de f en
.
3) a) pour tout nombre réel x , calculer f ‘(x).
b) Etudier le signe de f ‘(x) , puis dresser le tableau de variation de la fonction f.
4) Soit F la fonction définie et dérivable sur par : F ( x)  ( x  2)e x
Démontrer que F est la primitive de f sur .
Exercice n°9 :
La courbe (C) donnée ci-dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormé d’une
fonction f définie et dérivable sur IR. On note f’ sa dérivée.
Les point A(3,e) et B(4,2) appartiennent à cette courbe.
La tangente à la courbe en A est parallèle à l’axe des abscisses et la tangente (T) à la courbe en B coupe
l’axe des abscisses au point d’abscisse 6.

A) Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justification.
1) Déterminer lim f(x) ; f (2) .
x

2) Déterminer f ‘(3) et f ‘(4).
B) On considère la fonction f définie sur
par : f(x)=(x-2)e-x+4 .
1) a) Calculer f (0). Donner la valeur arrondie à l’unité.
b) Prouver que lim f(x)=0 . Donner une interprétation graphique de ce résultat.
x

2) a) Pour tout nombre x de l’intervalle
,calculer f ‘(x) et montrer que f'(x)=(3-x)e-x+4 .
b) Sur l’intervalle
, étudier le signe de f ‘(x), puis dresser le tableau de variation de la
fonction f.
3) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle
par : f(x)=(1-x)e x  4 est une primitive
de f sur
.
Exercice n°10 :
Le tableau de variation représenter ci-dessous est de la fonction g définie est dérivable sur IR.

A) 1) Déterminer lim g(x) . Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x

2) Déterminer g(0) et g ‘(0) . Que peut-on conclure?
3) a) Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution
b) Etudier suivant les valeurs de x le signe de g (x).

sur IR.

B) On suppose dans cette partie que g(x)=1-xe x .Soit f la fonction définie sur IR par : f(x)=
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé
.
1) Déterminer le domaine de définition de f.
2) Calculer les limites de f en
et en
. Donner une Interprétation graphique.
3) a) Calculer f ‘(x) , et prouver que pour tout x IR f ‘(x) et g(x) sont de même signe.
b) Dresser alors le tableau de variation de f.
4) Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
5) Tracer T , les éventuelles asymptotes et la courbe C dans le repère
.

x+1
.
e x +1