212 Séries de Fourier Mickael 2

212. SÉRIES DE FOURIER D’UNE FONCTION PÉRIODIQUE.
PROPRIÉTÉS DE LA SOMME. EXEMPLES.
Prérequis : séries de fonctions ; espaces préhilbertiens
Notations :
𝐶𝑀2𝜋 est l’espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur ℝ à valeurs dans ℝ ou
ℂ, et de période 2𝜋. Il existe donc un nombre fini de points de discontinuité sur chaque période.
Si 𝑓 ∈ 𝐶𝑀2𝜋 on note 𝑓̃ la fonction telle que ∀𝑡 ∈ ℝ, 𝑓̃(𝑡) =

𝑓(𝑡 −)+𝑓(𝑡 +)
2

, appelée régularisée de 𝑓.

𝑅2𝜋 est le sous-espace vectoriel de 𝐶𝑀2𝜋 constitué des fonctions égales à leurs régularisées.
𝐶2𝜋 est le sous-espace vectoriel de 𝑅2𝜋 constitué des fonctions continues.

I.

Cadre de travail

PROP-1.

𝑅2𝜋 muni du produit scalaire ⟨𝑓 |𝑔⟩ =

1 𝜋 ̅̅̅̅̅̅
∫ 𝑓 (𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡
2𝜋 −𝜋

est donc un espace préhilbertien.

PROP-DÉF-2. Pour tout 𝑘 de ℤ, l’application définie sur ℝ par 𝑒𝑘 (𝑡) = 𝑒 𝑖𝑘𝑡 est un élément de 𝑅2𝜋 .
On note 𝑃 le sous-espace engendré par (𝑒𝑘 )𝑘∈ℤ , et ∀𝑛 ∈ ℕ on note 𝑃𝑛 le sous-espace engendré par
(𝑒𝑘 )−𝑛≤𝑘≤𝑛 .
Leurs éléments sont appelés polynômes trigonométriques.
PROP-3. La famille (𝑒𝑘 )𝑘∈ℤ est orthonormée. On note, pour tout 𝑘 de ℤ :
𝑐𝑘 (𝑓) = ⟨𝑒𝑘 |𝑓⟩ =

1 𝜋
1 𝜋
̅̅̅̅̅̅̅
(
)
∫ 𝑒 (𝑡)𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑖𝑘𝑡 𝑑𝑡
2𝜋 −𝜋 𝑘
2𝜋 −𝜋

𝑆𝑛 (𝑓) = ∑𝑛𝑘=−𝑛 𝑐𝑘 (𝑓)𝑒𝑘 est donc le projeté orthogonal de 𝑓 sur 𝑃𝑛 .
PROP-4 : INÉGALITÉ DE BESSEL
Les séries ∑𝑛𝑘=1|𝑐𝑘 (𝑓)|2 et ∑𝑛𝑘=1|𝑐−𝑘 (𝑓)|2 convergent et on a :
𝑛

‖2

‖𝑆𝑛 (𝑓)

= ∑ |𝑐𝑘 (𝑓)|2 ≤
𝑘=−𝑛

1 𝜋
∫ |𝑓(𝑡)|2 𝑑𝑡 = ‖𝑓‖2
2𝜋 −𝜋

REM-5. Pour les fonctions de 𝐶𝑀2𝜋 , il suffit de ne pas utiliser les notations ⟨… | … ⟩ ou ‖… ‖.

II.

Séries de Fourier

PROP-6. Si on pose :

1

𝜋

𝑎𝑘 (𝑓) = 𝑐𝑘 (𝑓) + 𝑐−𝑘 (𝑓) = 𝜋 ∫−𝜋 𝑓(𝑡) cos(𝑘𝑡) 𝑑𝑡
1

𝜋

𝑏𝑘 (𝑓) = 𝑖(𝑐𝑘 (𝑓) − 𝑐−𝑘 (𝑓)) = ∫−𝜋 𝑓(𝑡)sin⁡(𝑘𝑡)𝑑𝑡
𝜋
𝑛

𝑛

𝑛

𝑘=−𝑛

𝑘=1

𝑘=1

alors :

𝑎0 (𝑓)
𝑆𝑛 (𝑓) = ∑ 𝑐𝑘 (𝑓)𝑒𝑘 =
+ ∑ 𝑎𝑘 (𝑓) cos(𝑘𝑡) + ∑ 𝑏𝑘 (𝑓) sin(𝑘𝑡)
2
avec en particulier :

𝑎0 (𝑓) = 2𝑐0 (𝑓)

𝑏0 (𝑓) = 0

DÉF-7. Les 𝑐𝑘 (𝑓) sont appelés coefficients de Fourier exponentiels de 𝑓.
Les 𝑎𝑘 (𝑓) et les 𝑏𝑘 (𝑓) sont appelés coefficients de Fourier trigonométriques de 𝑓.
La suite (𝑆𝑛 (𝑓))𝑛∈ℕ s’appelle série de Fourier associée à 𝑓.
PROP-8. Les applications : 𝑓 ⟼ 𝑐𝑘 (𝑓)

𝑓 ⟼ 𝑎𝑘 (𝑓) 𝑓 ⟼ 𝑏𝑘 (𝑓)

sont des formes linéaires sur 𝐶𝑀2𝜋 .

PROP-9. Si ∈ 𝐶𝑀𝑇 , alors pour tout entier 𝑘 :
𝑐𝑘 (𝑓) =

III.

2𝜋
1 𝑇
2 𝑇
2𝜋
2 𝑇
2𝜋
∫ 𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑖𝑘 𝑇 𝑡 𝑑𝑡 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑎𝑘 (𝑓) = ∫ 𝑓 (𝑡)cos⁡(𝑘
𝑡)𝑑𝑡 ⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑏𝑘 (𝑓) = ∫ 𝑓(𝑡)sin⁡(𝑘 𝑡)𝑑𝑡
𝑇 0
𝑇 0
𝑇
𝑇 0
𝑇

Propriétés des coefficients de Fourier

PROP-10. Pour ∈ 𝐶𝑀2𝜋 , on a les relations suivantes :
(𝑖 )⁡⁡⁡⁡⁡𝑐𝑘 (𝑓) =

𝑎𝑘 (𝑓) − 𝑖𝑏𝑘 (𝑓)
𝑎𝑘 (𝑓) + 𝑖𝑏𝑘 (𝑓)
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐−𝑘 (𝑓) =
2
2
𝑐𝑘 (𝑓) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑐−𝑘 (𝑓)

(𝑖𝑖 ) Si 𝑓 est à valeurs réelles :
(𝑖𝑖𝑖) Si 𝑓 est une fonction paire :

2

𝑎𝑘 (𝑓) = 2⁡𝑅𝑒(𝑐𝑘 (𝑓))

𝜋

𝑎𝑘 (𝑓) = ∫0 𝑓(𝑡) cos(𝑘𝑡) 𝑑𝑡
𝜋

(𝑖𝑣) Si 𝑓 est une fonction impaire :

2

𝑎𝑘 (𝑓) = 0

𝑏𝑘 (𝑓) = −2⁡𝐼𝑚(𝑐𝑘 (𝑓))

𝑏𝑘 (𝑓) = 0
𝜋

𝑏𝑘 (𝑓) = ∫0 𝑓(𝑡) sin(𝑘𝑡) 𝑑𝑡
𝜋

PROP-11. Les suites (𝑐𝑘 (𝑓))k∈ℕ , (𝑐−𝑘 (𝑓))k∈ℕ , (𝑎𝑘 (𝑓))k∈ℕ et (𝑏𝑘 (𝑓))k∈ℕ convergent vers 0.
PROP-12. Si 𝑓 est 𝐶 𝑝−1 et 𝐶 𝑝 par morceaux sur ℝ, alors :

𝑐𝑘 (𝑓 (𝑝) ) = (𝑖𝑘)𝑝 𝑐𝑘 (𝑓).

En particulier, si 𝑓 est continue et 𝐶 1 par morceaux sur ℝ, alors :

𝑐𝑘 (𝑓′) = 𝑖𝑘𝑐𝑘 (𝑓).

1

COR-13. On a : 𝑐𝑘 (𝑓) = 𝑜 (𝑘 𝑝 ). De même pour 𝑎𝑘 (𝑓) et 𝑏𝑘 (𝑓).

IV.

Convergence de la série de Fourier et exemples d’utilisation

PROP-14 : CONVERGENCE EN MOYENNE QUADRATIQUE
𝜋

lim ‖𝑓 − 𝑆𝑛 (𝑓)‖ = lim ∫ |𝑓(𝑡) − 𝑆𝑛 (𝑓)(𝑡)|2 𝑑𝑡 = 0

𝑛→+∞

𝑛→+∞ −𝜋

Si 𝑓 ∈ 𝑅2𝜋 :

COR-15 : ÉGALITÉ DE PARSEVAL

+∞

lim ‖𝑆𝑛 (𝑓

𝑛→+∞

)‖2

= ‖𝑓

‖2

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑐à𝑑⁡⁡⁡⁡⁡⁡ ∑ |𝑐𝑘 (𝑓)|2 = ‖𝑓‖2 =
𝑘=−∞

1 𝜋
∫ |𝑓(𝑡)|2 𝑑𝑡
2𝜋 −𝜋

Si 𝑓 est à valeurs réelles alors on peut écrire l’égalité avec les coefficients de Fourier trigonométriques :
+∞

|𝑎0 (𝑓)|2 1
1 𝜋
∫ |𝑓(𝑡)|2 𝑑𝑡
+ ∑(𝑎𝑘 (𝑓)2 + 𝑏𝑘 (𝑓)2 ) =
4
2
2𝜋 −𝜋
𝑘=1

1

1

+∞
EX-16. À l’aide de 𝑓1 (𝑥) = 𝑥² sur [−𝜋, 𝜋] et 2𝜋-périodique, déterminer ∑+∞
𝑛=1 𝑛4 et ∑𝑛=1 (2𝑛+1)4 .

COR-17. Deux fonctions de 𝑅𝑇 ayant les mêmes coefficients exponentiels sont égales.
THM-18 : CONVERGENCE NORMALE
Soit 𝑓 continue et 𝐶 1 par morceaux. Alors la série de Fourier de 𝑓 converge normalement vers 𝑓 sur ℝ.
THM-19 : JORDAN DIRICHLET
Soit 𝑓 une fonction 2𝜋-périodique et 𝐶 1 par morceaux sur ℝ. Alors la série de Fourier de 𝑓 converge
simplement vers 𝑓̃ sur ℝ. En particulier, si 𝑓 ∈ 𝑅2𝜋 alors 𝑆𝑛 (𝑓) converge simplement vers 𝑓.
1

EX-20. À l’aide de 𝑓2 (𝑥) = 2 (𝜋 − 𝑥) sur ]0,2𝜋[ , 2𝜋-périodique et telle que 𝑓 (0) = 0, déterminer
∑+∞
𝑛=0

(−1)𝑛
2𝑛+1

.

DÉVELOPPEMENT : démonstration du théorème de JORDAN DIRICHLET
1. Lemme de Riemann-Lebesgue
Soit 𝑔 à valeurs dans ℂ, continue par morceaux sur le segment réel [𝑎, 𝑏]. Alors :
𝑏

lim ∫ 𝑔(𝑡)𝑒 𝑖𝜆𝑡 𝑑𝑡 = 0

𝜆→±∞ 𝑎

2. Mise en évidence du noyau de Dirichlet dans l’expression de la série de Fourier
𝑛

1 𝜋 𝑓 (𝑥 − 𝑢) + 𝑓 (𝑥 + 𝑢)
∫
( ∑ 𝑒 𝑖𝑘𝑢 ) 𝑑𝑢
𝑆𝑛 (𝑓)(𝑥) =
2𝜋 −𝜋
2
𝑘=−𝑛

3. Propriétés du noyau de Dirichlet
𝑛

𝐷𝑛 (𝑢) = ∑ 𝑒 𝑖𝑘𝑢 =
𝑘=−𝑛

1
sin ((𝑛 + 2) 𝑢)
𝑢
sin ( )
2

1 𝜋
∫ 𝐷 (𝑢)𝑑𝑢 = 1
2𝜋 −𝜋 𝑛
4. Conclusion
𝑆𝑛 (𝑓)(𝑥) − 𝑓̃(𝑥) =

⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=

1 𝜋 (𝑓(𝑥 − 𝑢) − 𝑓(𝑥 − )) + (𝑓(𝑥 + 𝑢) − 𝑓 (𝑥 + ))
1
∫
sin ((𝑛 + ) 𝑢) 𝑑𝑢
𝑢
2𝜋 −𝜋
2
2 sin ( 2)
1 𝜋
1
∫ 𝑔𝑥 (𝑢) sin ((𝑛 + ) 𝑢) 𝑑𝑢
2𝜋 −𝜋
2

où 𝑔𝑥 est continue par morceaux. Le lemme conclut.