309 Exercices polynômes et fractions rationnelles

EXERCICES FAISANT INTERVENIR DES POLYNOMES ET
FRACTIONS RATIONNELLES SUR ℝ OU ℂ
Exercice 1
Calculer :




décomposition en
éléments simples
somme télescopique



relations coeff / racines




introduction de
polynômes pour
déterminer une somme
relations coeff / racines






polynôme dérivé
décompositions
identification des coeff
barycentres

𝑘=0



𝑆𝑛𝑥
𝑓(𝑥) − 𝐵𝑛 (𝑥) = 𝔼 (𝑓(𝑥) − 𝑓 ( ))
𝑛
𝑥
où 𝑆𝑛 est une variable aléatoire de loi binomiale ℬ (𝑛, 𝑥).
2. En déduire, à l’aide de la loi faible des grands nombres, que la suite
(𝐵𝑛 )𝑛∈ℕ∗ converge uniformément vers 𝑓.
3. Quel théorème vient-on de démontrer ?



application aux
probabilités
théorème de
Weierstrass

+∞

1
∑
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

𝑛=1

Exercice 2 : théorème de Joachimsthal [oraux X-ENS analyse 3]
Soit ℰ une ellipse de représentation paramétrique :
𝑥 (𝑡) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
{
, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
𝑦(𝑡) = 𝑏 𝑠𝑖𝑛(𝑡)
dont 𝑀1 , 𝑀2 , 𝑀3 et 𝑀4 sont quatre points distincts de paramètres
respectifs 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 et 𝑡4 .
Montrer qu’ils sont cocycliques si et seulement si 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 ∈ 2𝜋ℤ.
Exercice 3 : calcul de 𝜻(𝟐) [oraux X-ENS algèbre 1]
1. Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ, il existe un unique polynôme 𝑃𝑛 vérifiant :
𝑠𝑖𝑛((2𝑛 + 1)𝑡)
∀𝑡 ∈]0, 𝜋/2[
𝑃𝑛 (𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 (𝑡)) =
𝑠𝑖𝑛2𝑛+1 (𝑡)
2. Expliciter les racines de 𝑃𝑛 et calculer leur somme.
1
3. En observant que ∀𝑡 ∈]0, 𝜋/2[, 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 (𝑡) ≤ 𝑡 2 ≤ 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2 (𝑡)
retrouver la valeur de :

𝜁(2) =

1
∑+∞
𝑘=1 𝑘 2

Exercice 4 : théorème de Gauss-Lucas
Soit 𝑃 un polynôme à coefficients complexes.
′
1. Décomposer 𝑃 ⁄𝑃 en éléments simples.
2. Montrer que l’ensemble des zéros de 𝑃 ′ est contenu dans l’enveloppe
convexe des zéros de 𝑃.
Exercice 5 : polynômes de Bernstein [Chafaï - Chapitre 5]
Soit 𝑓 une fonction continue sur [0,1]. On définit sur les polynômes de
Bernstein associés à 𝑓 par :
𝑛

∗

∀𝑛 ∈ ℕ ,

𝑛
𝑘
𝐵𝑛 = ∑ ( ) 𝑓 ( ) 𝑋 𝑘 (1 − 𝑋 )𝑛−𝑘
𝑘
𝑛

1. Montrer que ∀𝑛 ∈ ℕ∗ , ∀𝑥 ∈ [0,1] :

Exercice 6 [Tauvel - Exercices d’algèbre linéaire]
𝐴 𝐴
) ∈ ℳ2𝑛 (ℂ).
Pour 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝐴 ∈ ℳ𝑛 (ℂ) on pose 𝐵 = (
0 𝐴
Montrer que 𝐵 est diagonalisable si et seulement si 𝐴 = 0.



polynômes
caractéristique et
minimal

Attention il n’y a pas toujours isomorphisme entre 𝕂[𝑋] et les fonctions polynomiales de ℝℝ (parler
de l’exo avec 𝕂 = ℤ/𝑛ℤ).