Chapitre 9 fonction racine carrée

Chapitre 9

Fonction racine carrée
I – Racine carrée d’un nombre
1°) Définition et relation avec le carré :
Définition : Soit a un nombre positif. On appelle racine carrée de 𝑎 et on note √𝑎 le nombre positif dont le
carré est égal à 𝑎.
Exemples :



52 = 25 donc √25 = 5
et 22 = 4 donc √4 = 2
Quelques valeurs remarquables à connaitre :
 √0 = 0 ; √1 = 1 ; √4 = 2 ; √9 = 3 ; √16 = 4 ; √25 = 5
 √36 = 6 ; √49 = 7 ; √64 = 8 ; √81 = 9 ; √100 = 10

Remarque : La racine carrée n’existe que pour les nombres positifs.
𝟐

Propriété : Soit 𝒂 un nombre positif. On a (√𝒂) = 𝒂
2

Exemple : (√3) = √3 × √3 = 3
2°) Propriétés des racines carrées
Propriétés : Soient 𝒂 > 𝟎 et 𝒃 > 𝟎 ∶
1°) √𝒂 × 𝒃 = √𝒂

Exemples : √𝟑 × 𝟕 = √𝟑 × √𝟕

2°)

;

𝒂

√𝒂

√𝒃 = √𝒃

√𝟏𝟓
√𝟏𝟓 =
𝟐𝟑 √𝟐𝟑

3°) Simplification de racine carrée
En utilisant les propriétés du 2°) et les valeurs du 1°) il est possible de simplifier des racines carrées.
Exemples :
1°) Simplifier la racine carrée suivante √63
Méthode : On cherche une décomposition de 63 en un produit utilisant les valeurs remarquables du 1°) à savoir
1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ;36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 puis on utilise la propriété √𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏
Ici : 63 = 𝟗 × 7, d’où √63 = √9 × 7 = √9 × √7 = 3 × √7 = 3√7 car √9 = 3. Enfin √63 = 3√7
2°) Simplifier √250 : √250 = √25 × 10 = √25 × √10 = 5 × √10 = 5√10
3°) Simplifier √98 : √98 = √49 × 2 = √49 × √2 = 7 × √2 = 7√2
4°) Ecrire le nombre 𝐴 = 2√12 − 4√3 + √27 sous la forme 𝑎√3.
𝐴 = 2√12 − 4√3 + √27 = 2 × √4 × 3 − 4√3 + √9 × 3
𝐴 = 2 × √4 × √3 − 4 × √3 + √9 × √3
𝐴 = 2 × 2 × √3 − 4√3 + 3√3
𝐴 = 4√3 − 4√3 + 3√3 = 3√3

II – La fonction racine carrée
1°) Définition
Définition : La fonction racine carrée est la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) = √𝑥.
Exemples : 𝑓(4) = √4 = 2 ; 𝑓(5) = √5 ≈ 2,236 (valeur approchée à 10−3 ).
Comme nous l’avons vu dans le I°), on ne pas calculer la racine carrée de nombre négatifs.
On dit que la fonction carrée est définie sur [0 ; +∞[.
2°) Ensemble de définition d’une fonction
Définition : L’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble des nombres 𝑥 tels que leur image 𝑓(𝑥)
existe. On le note 𝐷𝑓
Exemples :


Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3, tous les nombres réels ont une image par la fonction 𝑓 donc 𝐷𝑓 = ℝ (tous les réels)



Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , tous les nombres réels ont une image par la fonction 𝑓 donc 𝐷𝑓 = ℝ



Si 𝑓(𝑥) = √𝑥, seuls les nombres positifs ont une image par la fonction 𝑓 donc 𝐷𝑓 = [0 ; +∞[



Si 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 4 , le nombre sous la racine carrée doit être positif, il faut donc 2𝑥 + 4 ≥ 0,
soit 2𝑥 ≥ −4 puis 𝑥 ≥ −2, donc 𝐷𝑓 = [−2 ; +∞[
3°) Courbe représentative de la fonction racine carrée

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous en utilisant la fonction racine carrée. Placer ensuite les points dans
un repère orthonormé et tracer la courbe représentative de la fonction racine carrée
𝒙
𝒇(𝒙) = √𝒙

0
0

0,5
0,71

1
1

2
1,41

5
2,24

8
2,83

10
3,16

Représentation graphique :

4°) Variations de la fonction racine carrée
Propriété : La fonction carré est croissante sur [𝟎 ; +∞[.


Pour tout réel, √𝑥 ≥ 0 (une racine est toujours positive)



Deux réels positifs et leurs racines carrées sont rangés
dans le même ordre.

Exemple : On a 0 < 2,12 < 2,18 et la fonction racine carrée est croissante sur [0 ; +∞[ , donc √2,12 < √2,18 .

III°) Equations et inéquations avec la fonction racine carrée.
1°) Résolution d’équation
Propriété : Soit 𝒂 ∈ ℝ.
L’équation √𝒙 = 𝒂 :
-

n’a pas de solution si 𝒂 < 𝟎

-

admet une unique solution 𝒙 = 𝒂𝟐 si 𝒂 ≥ 𝟎.

Exemple : Résoudre les équations suivantes :
1°) √𝑥 = 9

𝑆 = {81}

2°) √𝑥 = 7

𝑆 = {49}

𝟑°) √𝑥 = −1

𝑆=∅

𝟒°) √2𝑥 + 1 = 2

On a 2𝑥 + 1 = 4 soit 2𝑥 = 3 puis 𝑥 = . Enfin 𝑆 = { }
3
3

2

2

2°) Résolution d’inéquation :
Propriété : Soit a un nombre strictement positif.
1°) L’inéquation √𝒙 ≥ 𝒂 admet pour ensemble solution 𝑺 = [𝒂𝟐 ; +∞ [
2°) L’inéquation √𝒙 < 𝒂 admet pour solutions 𝑺 = [𝟎 ; 𝒂𝟐 [
Exemples : Résoudre les inéquations suivantes : √𝑥 ≥ 2,5

; √𝑥 < 2,5

L’inéquation √𝑥 ≥ 2,5 admet pour ensemble solution 𝑆 = [2,52 ; +∞ [ soit 𝑆 = [6,25 ; +∞[
L’inéquation √𝑥 < 2,5 admet pour solutions 𝑆 = [0 ; 2,52 [ soit 𝑆 = [0 ; 6,25[