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Pr BENZINE RACHID. ANALYSE REELLE. COURS ET EXERCICES CORRIGES. PREMIERE ANNEE MATHS ET INFORMATIQUE .pdf



Nom original: Pr BENZINE RACHID. ANALYSE REELLE. COURS ET EXERCICES CORRIGES. PREMIERE ANNEE MATHS ET INFORMATIQUE.pdf

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ANALYSE REELLE
COURS ET EXERCICES
CORRIGES
PREPARATION AUX GRANDES
ECOLES
PREMIERE ANNEE MATHS ET
INFORMATIQUE

*
PROFESSEUR BENZINE RACHID
7 février 2016

1

Table des matières
I SEMESTRE 1 : NOMBRES REELS. SUITES. FONCTIONS D’UNE VARIABLE REELE : LIMITE, CONTINUITE, DERIVEE, FORMULES DE TAYLOR ET
DEVELOPPEMENTS LIMITES
10
1 L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
1.1 DEFINITION GENERALE ET APERCU HISTORIQUE . . .
1.1.1 Construction des ensembles N; Z; Q; R en utilisant les
équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Nombres irrationnels. Nombres algébriques. Nombres
transcendans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Le nombre fascinant :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Contribution des civilisations anciennes dans le calcul
approximatif de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Irrationalité de
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Transcendance de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Représentation décimale . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Dé…nition axiomatique des nombres réels . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Relation d’ordre, Minorants, Majorants, Sup, inf, Maximum, Minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3
1.3.4

11
11
11
15
19
19
22
23
23
25
25
31

Introduction axiomatique des nombres réels . . . . . . 31
Propriété caractéristique du sup . . . . . . . . . . . . . 33

1.4 Propriétés caractéristiques de l’ensemble des nombres réels . . 37
1.4.1 Propriété d’Archimède et densité de Q et de RnQ dans R 37
1.4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.3
1.4.4
1.4.5

Partie entière d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Valeur absolue d’un nombre réel . . . . . . . . . . . . . 39
Ensembles particuliers de R . . . . . . . . . . . . . . . 41
2

TABLE DES MATIÈRES

3

2 SUITES REELLES
2.1 NOTIONS GENERALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 NOTE HISTORIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Exemples d’utilisations des suites dans la vie courante .
2.2 Dé…nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Notations et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Di¤érentes façons de dé…nir une suite . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Par une dé…nition explicite du terme d’indice n . . . .
2.3.2 Par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

2.6

2.7

2.8

2.4.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Cas d’une suite dé…nie par un = f (n)
Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Dé…nitions et exemples . . . . . . . .
2.5.2 Relations entre les termes . . . . . .
Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Dé…nitions et exemples . . . . . . . .
2.6.2 Relations entre les termes . . . . . .
CONVERGENCE DES SUITES REELLES
2.7.1 Introduction et dé…ntion . . . . . . .
2.7.2 Théorèmes de convergence . . . . . .
SUITES RECURRENTES . . . . . . . . . .
2.8.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Rôle joué par la condition f (D) D dans l’étude de
suites récurentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.4 Etude de la monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.5 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 SUITES DE CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 THEOREME DE BOLZANO-WEIERSTRASS. GENERALISATION DE LA NOTION DE LIMITE . . . . . . . . . . .

52
52
52
55
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65
73
86
86
86

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86
90
93
101

2.8.3

. 103

3 FONCTIONS REELLES D’UNE VARIABLE REELLE. LIMITE ET CONTINUITE
133
3.1 NOTE HISTORIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2 GENERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

TABLE DES MATIÈRES

4

3.2.1 Fonction numérique, fonction réelle d’une variable réelle 134
3.2.2 Graphe d’une fontion réelle d’une variable réelle. . . . . 134
3.2.3 Fonctions paire, impaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.4 Fonction périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.5 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.6 fonctions monotonnes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.7 Opérations algébriques sur les fonctions . . . . . . . . . 138
3.3 LIMITE D UNE FONCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.1 Idée intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.3.2 Dé…nitions. Limite …nie en un point x0 . Limite à gauche,
limite à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
3.3.4 Exemple de fonction sans limite . . . . . . . . . . . . . 142

3.4

3.5

3.6

3.7
3.8

3.9

3.3.5 Cas où x0 devient in…ni . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Limite in…nie avec x0 2 R (f ini) . . . . . . . . . . .
3.3.7 Limite in…nie avec x0 = +1 ou x0 = 1 . . . . . .
OPERATIONS SUR LES LIMITES . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Somme, produit et quotient . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Limite d’une fonction composée . . . . . . . . . . . .
COMPARAISON DES FONCTIONS AU VOISINAGE D’UN
POINT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 FORMES INDETERMINEES . . . . . . . . . . . . .
FONCTIONS CONTINUES. DEFINITIONS . . . . . . . . .
3.6.1 Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Dé…nitions : fonctions continues en un point . . . . .
OPERATIONS SUR LES FONTIONS CONTINUES . . . .
THEOREMES SUR LES FONCTIONS CONTINUES SUR
UN INTERVALLE FERME . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Fonctions continues sur un intervalle férmé et borné .
3.8.2 Théorème des valeurs intérmédiaires . . . . . . . . .
FONCTION RECIPROQUE D UNE FONCTION CONTINUE STRICTEMENT MONOTONE. . . . . . . . . . . . .
3.9.1 Applications : Fonction réciproques des fonctions circulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 FONCTIONS DERIVABLES ET APPLICATIONS
4.1 Note historique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Dé…nitions et propriétés des fonctions dérivables . . .
4.2.1 Dérivée d’une fonction en un point . . . . . .
4.2.2 Di¤érentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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144
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146
152
152
152
156

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. 158
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. 163
. 166
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191
191
192
192
196

TABLE DES MATIÈRES
4.2.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Dérivée sur un intervalle. Fonction dérivée. . . . . . .
4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Somme, produit et quotient de fonctions dérivables .
4.3.2 Dérivée n-ième d’un produit (formule de Leibniz) . .
4.3.3 Dérivée d’une fonction composée. . . . . . . . . . . .
4.3.4 Dérivée d’une fonction réciproque . . . . . . . . . . .
4.3.5 Optimum local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Théorème de Rolle et des accroissements …nis . . . . . . . .
4.4.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Théorème des accroissements …nis . . . . . . . . . . .
4.4.3 Théorème des accroissements …nis généralisé . . . . .
4.5 Quelques applications de la notion de dérivée et du théorème
des accroissements …nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Etude de la variation des fonctions . . . . . . . . . .
4.5.2 Regle de l’Hopital et applications . . . . . . . . . . .
4.5.3 Optimisation di¤erentiable dans R . . . . . . . . . .
4.5.4

5
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198
199
200
200
202
202
203
205
206
206
209
210

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212
212
213
218

Condition su¢ sante d’optimalité . . . . . . . . . . . . 220

5 FORMULES DE TAYLOR. DEVELOPPEMENTS LIMITES242
5.1 INTRODUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
5.2 FORMULES DE TAYLOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4

Formule de Taylor avec reste de Lagrange . . . . . . . 243
Formule de Taylor MacLaurin . . . . . . . . . . . . . . 246
Formule de Taylor Young . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Développement de Taylor et Maclaurin-Young des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
5.3 Applications de la formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 250
5.3.1 Application de la formule de Taylor au calcul d’optimums250
5.3.2 Application de la formule de Taylor au calcul des limites des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.4 DEVELOPPEMENTS LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . 254
5.4.1 Développement limité d’odre n au voisinage de 0 . . . 255
5.4.2 Développements limités usuels obtenus par la formule
de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.4.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . 260

TABLE DES MATIÈRES

6

II SEMESTRE II : INTEGRALE ET PRIMITIVE.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE 1 ET
2. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES : LIMITE, CONTINUITE, DERIVEES PARTIELLES,
FORMULE DE TAYLOR, OPTIMISATION DIFFERENTIABLE
279
6 INTEGRALE ET PRIMITIVE
6.1 L’INTEGRALE DE RIEMANN . . . . . . .
6.1.1 NOTE HISTORIQUE . . . . . . . .
6.1.2 Dé…nition de l’integrale de Riemann .
6.1.3 Propriétés de l’integrale de Riemann
6.2 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Dé…nition. Lien entre deux primitives

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280
280
281
286
289
289

6.2.2 Primitives d’une fonction continue . . . . . . . . . . .
6.3 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Formules générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Expression d’une intégrale à partir d’une primitive .
6.4.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 CALCUL DES FONCTIONS PRIMITIVES . . . . . . . . .
6.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Tableau des primitives usuelles . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.4 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.5 Intégration de certaines expréssions contenant les trinômes ax2 + bx + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.6 Fractions rationnelles. Fractions rationnelles élémentaires et leur intégration . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.7 Décomposotion des fractions rationnelles en éléments
simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.8 Intégration des fractions rationnelles . . . . . . . . .

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300

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. 301
. 306
. 312
. 314

7 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE335
7.1 Note Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
7.1.1 Histoire des équations di¤érentielles du premier ordre . 335
7.1.2 Histoire de l’équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . 336
7.1.3 Un aperçu sur Le Mathématicien Jacques Bernoulli . . 336
7.1.4 Histoire des équations linéaires . . . . . . . . . . . . . 337

TABLE DES MATIÈRES
7.1.5
7.2
7.3
7.4

7.5

7.6

7.7
7.8

7.9

Histoire des théorèmes d’existence et d’unicité des équations du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modèle physique conduisant à une équation di¤érentielle . . .
Dé…nitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Notions générales sur les équations di¤érentielles du premier
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2 Existence et unicité des solutions des équations di¤érentielles du premier ordre résolubles en y’ . . . . . . .
Equations à variables séparées et séparables . . . . . . . . . .
7.5.1 Equations à variables séparées . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2 Equations à variables séparables . . . . . . . . . . . . .
Equations homogènes du premier ordre . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Dé…nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.2 Résolution de l’équation homogène . . . . . . . . . . .
Equations se ramenant aux équations homogènes . . . . . . .
Equations linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . .
7.8.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8.2 Résolution de l’équation linéaire . . . . . . . . . . . . .
Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.2 Résolution de l’équation de Bernoulli . . . . . . . . . .

7

338
339
340
341
341
342
347
347
349
350
350
351
353
357
357
357
361
361
361

8 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE370
8.1 Note Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
8.2 Equations linéaires homogènes. Dé…nitions et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.2 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.3 Equations linéaires homogènes du second ordre à coé¢ cients
constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.3.1 I. Les racines de l’équation caractéristique sont réelles
et distinctes : k1 6= k2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.3.2 II. Les racines de l’équation caractéristique sont complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.3.3 III L’équation caractéristique admet une racine réelle
double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.4 Equations di¤érentielles linéaires homogènes d’ordre n à coef…cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
8.4.1 Dé…nition. Solution générale . . . . . . . . . . . . 383

TABLE DES MATIÈRES

8

8.4.2

Méthode générale de calcul de n solutions linéairement indépendentes de l’équation homogène
(23) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Equations liéaires non homogènes du second ordre . . . . . .
8.5.1 Méthode de la variation des constantes arbitraires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Equations linéaires non homogènes du second ordre à coé¢ cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Cas où le second membre est de la forme f (x) =
8.6.2
8.6.3
8.6.4

Pn (x) e x . . . . . . . . . . . . . . .
Cas où le second membre est de la
P (x) e x cos x + Q (x) e x sin x . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .
forme
. . . .
. . . .

. 384
. 385
. 387
. 389

. . . . . . 389
f (x) =
. . . . . . 390
. . . . . . 395

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

9 FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. NOTIONS DE
LIMITE, CONTINUITE, DERIVEES PARTIELLES, DIFFERIENTIABILITE
405
9.1 Note historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
9.1.1 Note historique sur les fonctions de plusieurs variables 405
9.1.2 Note historique sur la vie et les travaux de James Gregory406
9.2 Domaine de dé…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9.3 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
9.3.2 Notion de voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
9.3.3 Dé…nition de la limite d’une fonction de deux variables 409
9.3.4 Ne pas confondre limite suivant une direction et limite 411
9.3.5 Comment démontrer que la limite d’une fonction de 2
variables n’existe pas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.4 Continuité des fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . 414
9.5 Dérivées partielles d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
9.5.1 Dé…nition des dérivées partielles d’ordre un d’une fonction de 2 variables en un point (x0 ; y0 ) . . . . . . . . . 415
9.5.2 La fonction dérivée partielle . . . . . . . . . . . . . . . 416
9.5.3 Dérivées partielles d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . 417
et @f
418
9.5.4 Continuité et existence des dérivées partielles @f
@x
@y
9.6 Fonctions di¤érentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

TABLE DES MATIÈRES
9.6.2

9

Dé…nition des fonctions di¤érentiables. Cas des fonc-

tions d’une variable réelle f : R ! R . . . . . . . . .
Dé…nition des fonctions di¤érentiables. Cas des fonctions de deux variables f : R2 ! R . . . . . . . . . .
9.6.4 Relation entre fonction di¤erentiable et existence des
et @f
. . . . . . . . . . . . . . .
dérivées partielles @f
@x
@y
9.6.5 Relation entre di¤erentiabilité et continuité . . . . . .
9.7 Notion de di¤erentielle d’une fonction de deux variables . . .
9.7.1 Comment démontrer que la limite d’une fonction de 2
variables n’existe pas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 419

9.6.3

. 420
. 420
. 422
. 423
. 434

10 DERIVEES PARTIELLES DES FONCTIONS COMPOSEES.
FORMULES DE TAYLOR ET OPTIMISATION DES FONCTIONS DE 2 VARIABLES
447
1
2
10.1 Fonctions de classe C ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
10.1.1 Ensemble ouvert dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
10.1.2 Fonctions de classe C 1 ou C 2 . . . . . . . . . . . . . . . 448
10.2 Dérivées partielles des fonctions composées . . . . . . . . . . . 448
10.2.1 Fonctions composées de type 1 . . . . . . . . . . . . . . 448
10.2.2 Fonctions composées de type 2 . . . . . . . . . . . . . . 449
10.2.3 Dérivées partielles des fonctions composées du type 1 . 449
10.2.4 Dérivées des fonctions composées du type 2 . . . . . . 450
10.3 Formule de taylor des fonctions de 2 variables . . . . . . . . . 450
10.3.1 Dérivées partielles d’ordre n; n > 2 . . . . . . . . . . . 450
10.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
10.5 Optimisation di¤érentiable dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . 452
10.5.1 Dé…nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
10.5.2 Conditions nécéssaires d’optimalité . . . . . . . . . . . 453
10.5.3 Conditions su¢ santes d’optimalité . . . . . . . . . . . 454

Première partie
SEMESTRE 1 : NOMBRES
REELS. SUITES.
FONCTIONS D’UNE
VARIABLE REELE : LIMITE,
CONTINUITE, DERIVEE,
FORMULES DE TAYLOR ET
DEVELOPPEMENTS
LIMITES

10

Chapitre 1
L’ENSEMBLE DES
NOMBRES REELS
1.1

DEFINITION GENERALE ET APERCU
HISTORIQUE

1.1.1

Construction des ensembles N; Z; Q; R en utilisant
les équations.

a)L’ensemble des entiers naturels N
Supposons que l’on connaisse l’ensemble des entiers naturels N = f0; 1; 2; 3; ::; n; ::g.
Historiquement les entiers naturels f1; 2; 3; :::; g étaient les premiers nombres
réels à être utilisés en pratique par l’homme (-2000 par les Babyloniens, les
grecs,...). Le nombre 0 fût découvert et utilisé beaucoup plus tard par les
indiens et les Arabes (+628).
b) L’ensemble des entiers relatifs Z
Etant donnés deux entiers naturels a et b , il n’existe pas toujours un
élément x de N tel que :
a + x = b:

1.1

Par exemple l’équation
x+2=0
n’admet pas de solution dans N: L’équation précédente modélise bien une
réalité économique quotidienne. Une personne endettée de 2 millions de dinards est modélisée par l’équation (1.1). Notons par x l’avoir ou le solde de
cette personne. Puisque cette personne est endettée de 2 millions, son solde
véri…e le fait suivant : si on lui ajoute 2 millions, la personne en question
11

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

12

n’aura rien et ne sera plus endettée, c’est à dire que x véri…e l’équation
x+2=0
En 628, l’indien Brahmagupta décrit les propriétés du zéro et des nombres
qu’il appelle les biens et les dettes (nombres positifs et négatifs). Voici, ce
que l’on peut trouver dans ses écrits : Lorsque le zéro est ajouté à un nombre
ou enlevé à ce dernier, celui-ci demeure inchangé. Zéro moins zéro est nul.
Une dette retranchée de zéro est un bien alors qu’un bien retranché de zéro
est une dette.
Par un procédé de symétrisation, on plonge l’ensemble N dans un ensemble plus grand dans lequel toute équation du type (1:1) admet une solution. Cet ensemble noté Z est appelé l’ensemble des entiers relatifs. Cet
ensemble est représenté par
Z = f::; n; ::; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ::; n; ::g ;
et on a N

Z:

c) L’ensemble des nombres rationnels Q
Essayons de modéliser maintenant une autre situation qu’on rencontre
tous les jours. Considérons deux personnes associés dans un commerce. Supposons qu’ils ont réussi à faire ensemble un béné…ce net de 300001dinards.
Si on note x le béné…ce de chacun, alors x est solution de l’équation
x + x = 2x = 300001

(1.2)

Il n’existe aucun entier relatif solution de l’équation (1.2). Plus généralement, étant donnés deux entiers relatifs a 2 Z (a 6= 0) et b 2 Z; tels que a ne
divise pas b; alors il n’existe aucun entier relatif x 2 Z véri…ant
ax = b

(1.3)

Celà veut dire que les nombres relatifs ne su¢ sent pas pour modéliser mêmes pas des réalités économiques quotidiennes. D’où la nécessité de
construire un ensemble plus grand que Z; et dont les équations du type (1.3)
admettent toujours une solution.
Par symétrisation on construit un ensemble noté Q tel que Z
Q et
dans lequel les équations du type (1:3) admettent toujours des solutions. Les
éléments de l’ensemble Q sont appelés les nombres rationnels.
Q=

p
tels que p 2 Z; q 2 Z; q 6= 0
q

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

13

d) L’ensemble des nombres réels R
l’ensemble Q aussi, n’est pas su¢ sant pour modéliser des situations
concrètes, ou même pour exprimer des longueurs réelles. Considérons par
exemple le triangle rectangle isocèle dont chacun des cotés de l’angle droit
est égal à 1: Notons L la longueur de l’hypothénuse. En utilisant le théorème
de Phytagore, L est solution de l’équation
L2 = 12 + 12 = 2:

La longueur L est donc solution de l’équation
x2 = 2

(1.4)

Montrons à présent que l’équation (1:4) n’a pas de solution dans Q: En
p
d’autres termes, il n’existe aucun nombre rationnel r = 2 Q ; tel que
q
r2 =

p2
=2
q2

Enonçons et démontrons celà.
Proposition 1.1 L’équation
x2 = 2
n’admet pas de solutions dans Q

(1.5)

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

14

Preuve de la Proposition 1.1
Pour le prouver, nous supposerons qu’i il existerait une fraction irreducp
tible r = ;solution de (1.5).
q
De l’équation (1:5) on a :
p2 = 2q 2 :
(1.6)
Nous verrons que cette proposition conduit à une contradiction et ne peut
ëtre vraie. En e¤et.
1. Remarquons d’abord que si un entier naturel m est impair alors m2 est
impair. Il résulte de ceci que si m2 est pair alors m est pair. En e¤et, si m
etait impair, m2 serait impair.
2. Puisque p2 = 2q 2 ; alors p2 est pair et par conséquent p est pair. Posons
donc
p = 2m
Donc
4m2 = 2q 2
ou encore
q 2 = 2m2 :
Ceci implique que q 2 est pair, et par la suite q est pair. Nous avons abouti
p
est
à p et q pairs. Ceci est en contradiction avec le fait que la fraction
q
irreductible.
On voit donc que malgré que L existe physiquent (longueur de l’hypoténuse), on ne peut pas trouver de nombre r = pq 2 Q, qui mesure exactement
la longueur de L: D’où la necessité de plonger l’ensemble Q dans un ensemble plus vaste appelé ensemble des nombres réels et noté R; tel que les
équations du type (1.4) admettent une solution. Le schémas suivant modélise
les ensembles vus précédemment et qui véri…ent :
N

Z

Q

R

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

1.1.2

15

Nombres irrationnels. Nombres algébriques. Nombres
transcendans

Comme on l’a remarqué avant, l’ensemble des nombres réels qu’on note
R , est composé de la réunion de deux sous ensembles : les nombres rationnels (nombres qui appartiennent à Q) et les nombres irrationnels (nombres
qui appartiennent à R et qui n’appartiennent pas à Q). On note par RnQ
l’ensemble des nombres irrationnels. Donc par dé…nition
Q=

p
tels que p 2 Z; q 2 Z; q 6= 0
q
RnQ = fx 2 R et x 2
= Qg
R = fQg [ fRnQg

Les nombres rationnels possèdent la représentation de périodicité suivante :
Proposition 1.2 Les nombres rationnels ont une representation décimale
périodique, c’est à dire qu’on peut les representer sous la forme suivante
x = a; a1::::: ap a1::::: ap a1::::: ap a1::::: ap :::
| {z }| {z }| {z }| {z }
periode periode periode periode

p 2 N; f ini;

0

ai

9

(1.7)

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

16

Nombres algébriques
Dé…nition 1.1 Les nombres réels algébriques sont les nombres réels qui
sont solutions d’une certaine équation algébrique ou polynomiale à coé¢ cients
relatifs de la forme :
a0 + a1 x + ::: + an xn = 0; a0 ; :::; an 2 Z

(1.8)

Un au moins des ai est non nul.
Exemple 1.1 Tout nombre réel rationnel est algébrique. En e¤et, si x =
p
;
alors
xq = p et xq p = 0: Donc x = pq est solution d’une équation
q
algébrique (n = 1; a0 = p; a1 = q).
p
Exemple
1.2
Le
nombre
irrationnel
x
=
2 est algébrique. En e¤et,
p
x = 2 est bien sur solution de l’équation algébrique x2 2 = 0 (n =
2; a0 = 2; a1 = 0; a2 = 1).
Nombres transcendants
Dé…nition 1.2 Les nombres réels transcendants sont les nombres réels
qui ne sont pas algébriques, c’est à dire qu’ils ne sont solutions d’aucune
équation algebrique ou polynomiale de la forme (1:8):
Contrairement aux nombres rationnels qui jouissent de la repressention
de periodicité (7); les nombres transcendants n’ont aucune periodicité dans
leur représentation décimale, et s’écrivent de façon presque aléatoire. Ce qui
rend leur étude trés di¢ cile et compliquée.
Histoire des nombres transcendants
Leibniz fut probablement la première personne à croire en l’éxistence des
nombres qui ne satisfont pas les polynômes à coe¢ cients rationnels. Le nom «
transcendants » vient de Leibniz dans sa publication de 1682 où il démontra
que sin(x) n’est pas une fonction algébrique de x. L’existence des nombres
transcendants fut prouvée pour la première fois en 1844 par Joseph Liouville,
qui montra des exemples, incluant la constante de Liouville.
Johann Heinrich Lambert, dans son article prouvant l’irrationalité de ;
conjectura que et e étaient des nombres transcendants.
Le premier nombre à avoir été démontré transcendant sans avoir été
construit spécialement pour cela fut e, par Charles Hermite en 1873.
En 1882, Ferdinand von Lindemann publia une démonstration de la transcendance de . La transcendance de a permis la démonstration de l’impossibilité de plusieurs constructions géométriques anciennes avec le compas et
la règle, incluant le plus célèbre d’entre eux, la quadrature du cercle.

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

17

En 1900, David Hilbert a posé une importante question à propos des
nombres transcendants, connue sous le nom de septième problème de Hilbert :
« Si a est un nombre algébrique non nul et di¤érent de 1 et si b est un nombre
algébrique irrationnel, alors le nombre ab est-il nécessairement transcendant ?
» La réponse, a¢ rmative, fut donnée en 1934 par le théorème de GelfondSchneider. On ppeut obtenir facilement des nombres transcendants grâce à lui,
par exemple 2 2

Hermite

Hilbert(1862

1943)

Apport de l’analyse dans la construction des nombres réels
Si l’existence des nombres négatifs apparaît très tôt dans l’histoire (mathématiques indiennes), il faut attendre 1770 pour qu’ils obtiennent grâce à
Euler un vrai statut de nombre et perdent leur caractère d’arti…ce de calcul.
Mais il faut attendre encore un siècle pour voir l’ensemble des réels associé
à l’ensemble des points d’une droite orientée, appelée droite réelle.

Euler (1707

1789)

Après 2200 ans : la solution
L’analyse permet une intuition de plus en plus précise sur la topologie des
nombres. Un siècle sera alors su¢ sant pour permettre de construire rigou-

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

18

reusement les nombres réels c’est-à-dire boucher les trous. Comme parfois en
mathématiques, une fois le problème arrivé à maturité, ce n’est pas un, mais
deux penseurs qui résolvent la di¢ culté.
Le premier à avoir dé…ni un concept permettant de résoudre la problématique de la construction des nombres réels est Augustin Louis Cauchy. Son
approche est restée la plus fructueuse. Elle s’applique à bien d’autres cas que
celui des nombres réels. Son idée est la suivante : une suite de nombres devrait converger (c’est-à-dire avoir une limite), si, au bout d’un certain temps,
tous les éléments de la suite sont à une distance les uns des autres aussi petite que l’on veut. Cette idée est formalisée dans l’article "suites de Cauchy".
Considérons la suite fxn gn=0;1;2;::: dé…nie par :

x0 = 1; x1 = 1:4; x2 = 1:41; x3 = 1:414; x4 = 1:4142; x5 = 1:41421; x6 = 1:414213; x7 = 1:41421
p
et ainsi de suite en alignant une par une toutes les décimales de 2. Cette
suite véri…e le critère de Cauchy. Sa limite est un bon candidat pour représenter la racine carrée de 2 et cette approche permet de construire les
nombres réels. Ce n’est que vers la …n du XIXe siècle que cette idée permet
une construction rigoureuse de l’ensemble des réels qui est réalisée par deux
mathématiciens Cantor en 1872 et Méray en 1869.

Cauchy

Cantor

Richard Dedekind proposa en 1872, dans son ouvrage "Was sind und
was sollen die Zahlen" (Ce que sont et ce que doivent être les nombres) une
méthode plus simple en étudiant la relation d’ordre sur les fractions. Son idée
consiste à considérer les coupures.
Il existe une autre méthode de construction des nombres réels réalisée à
partir des développements décimaux. Cependant l’addition puis la multiplication ne sont pas des opérations simples à dé…nir. C’est probablement cette
raison qui fait que cette approche fut la moins populaire.
Ces méthodes construisent toutes le même ensemble, celui des nombres

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

19

réels.

Dedekind

1.2

Le nombre fascinant :

est un nombre, que l’on représente par la lettre grecque du même nom :
. C’est le rapport entre la circonférence d’un cercle et son diamètre. On
peut également le dé…nir comme le rapport entre la super…cie d’un cercle et
le carré de son rayon.
Sa valeur approchée arrondie est :
3:141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307
en écriture décimale.
De nombreuses formules, de physique, d’ingénierie et bien sûr de mathématiques, impliquent , qui est une des constantes les plus importantes des
mathématiques.

1.2.1

Contribution des civilisations anciennes dans le
calcul approximatif de

Il semble que, très tôt, les mathématiciens aient été convaincus qu’il existait un rapport constant entre le périmètre du cercle et son diamètre, ainsi
qu’entre l’aire du disque et le carré du rayon.
a) Contribution des Babylonniens
Des tablettes babyloniennes datant de -2 000, présentent des calculs d’aires
1
.
conduisant à une valeur de égale à
3 + 835

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

20

b) Contribution des grecques
C’est dans le traité d’Archimède (-287 , -212 ) intitulé : "De la mesure du
cercle", que l’on peut lire une démonstration liant l’aire du disque et l’aire du
triangle ayant une base de longueur, le périmètre du cercle et pour hauteur
le rayon, démontrant ainsi qu’une même constante apparaît dans le rapport
entre aire du disque et carré du rayon et entre périmètre et diamètre.
Méthde géométrique de calcul de utilisée par Archimède
Pour trouver la valeur du nombre ; Archimède inscrit dans un cercle de
rayon 1 un triangle équilatéral dont il calcule le perimètre. Puis en doublant
le nombre de côtés, il calcule le périmètre d’un hexagone (6 côtés), puis celui
d’un dodécagone (12 côtés) et ainsi de suit, indé…niment. Il obtient ainsi une
suite illimitée de nombres connus dont la limite est 2 et qui fournissent une
bonne approximation de :

Archimede utlise les suites pour calculer des approximations de
Il démontre ainsi que 3 + 10/71 <

< 3 + 1/737. La moyenne de ces

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

21

deux valeurs est d’environ 3,14185. Archimède s’arrête à 96 côtés car les
calculs qu’il est amené à e¤ectuer, avec valeurs approchées, sont déjà longs
pour l’époque. Mais il met en place ainsi une méthode qui sera reprise par
ses successeurs et qui peut être, théoriquement, poursuivie indé…niment.
c) Contribution des chinois
Si les calculs pratiques peuvent se faire avec une bonne précision en utilisant la valeur 3,14 comme approximation de , la curiosité des mathématiciens les pousse à déterminer ce nombre avec plus de précision. Au IIIe siècle,
en Chine, Liu Hui, commentateur des Neuf chapitres, propose comme rapport entre le périmètre et le diamètre la valeur pratique de 3 mais développe
des calculs proches de ceux d’Archimède mais plus performants et fournit
une approximation de de 3,141639. Le mathématicien chinois Zu Chongzhi
donne une approximation rationnelle encore plus précise de :
355/113
(dont les développements décimaux sont identiques jusqu’à la 6e décimale,
3,141 592 6 et 355/113 3,141 592 9) et montre que 3,1415926 < <
3,141592741, en utilisant l’algorithme de Liu Hui appliqué à un polygone à
12 288 côtés.
d) Contribution du monde musulman
Vers l’an 800, Muhammed ibn Musa Al Khowaerizmi (aussi orthographié
Al’Khwarizmi ou Al-Huwarizmi, et dont le nom est à l’orgine du mot algorithme), né à KHuwarizm (aujourd’hui Khiva en Ouzbékistan), utilise la
valeur 3.1415 pour approximer :

AlKhowaerizmi

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

22

Vers 1450, Al-Kashi (ou Ibn Muhammed al-Kuchdki), astronome à Samarkand (aujourd’hui au Turkestan) dont il dirige l’observatoire, calcule
avec 14 décimales par la méthode des polygones d’Archimède Plus précisément, il utilise la formule de récurrence qui donne le côté d’un polygone
à p côtés :
q
p
4 s2 (p)
s(6) = 1; s(2p) = 2

Il mène son calcul en utilisant 27 fois la formule, ce qui à considérer la périmètre d’un polygone de 3 228 côtés. Al Kashi calcule dans le système sexagécimal et trouve 2 = 6:165928013451461450 soit = 3:082944004725530725.
Cette valeur est exacte jusqu’à la dixième position. C’est la première fois
dans l’histoire de l’humanité que l’on obitent plus de 10 décimales de .

El Kachi
e) Temps modernes
Pour 100 décimales, il faudra attendre le XVIIIème siécle, et le XXeme siécle
pour 1000 décimales. En fait, au XXéme siécle, on atteindra aussi 10 000 décimales, puis 100 000 décimales, puis un million de décimales et même(en
1989) un milliard de décimales.

1.2.2

Irrationalité de

Le nombre est irrationnel, ce qui signi…e qu’on ne peut pas écrire =p/q
où p et q seraient des nombres entiers. Al-Khawarizmi, au IXe siècle, est
persuadé que est irrationnel. Ce n’est cependant qu’au XVIIIe siècle que

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

23

Johann Heinrich Lambert prouve ce résultat. Au cours du XXe siècle, d’autres
démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances
plus avancées que celle du calcul intégral. L’une d’entre elles, due à Ivan
Niven, est très largement connue. Une preuve similaire, version simpli…ée de
celle de Charles Hermite, avait été trouvée quelque temps auparavant par
Mary Cartwright.

1.2.3

Transcendance de

est aussi un nombre transcendant, c’est-à-dire non algébrique. En d’autres
termes il n’existe pas de polynôme à coe¢ cients relatifs dont soit une racine.
C’est au XIXe siècle que ce résultat est démontré. En 1873, Hermite
prouve que la base du logarithme népérien, le nombre e, est transcendant. En
1882, Ferdinand von Lindemann généralise son raisonnement en un théorème
(le théorème d’Hermite-Lindemann) qui stipule que, si x est algébrique et
di¤érent de zéro, alors ex est transcendant. Or ei n’est pas transcendant
(puisqu’il est égal à -1). Par contraposée, i n’est pas algébrique donc (comme
i, lui, est algébrique) est transcendant.
Une conséquence importante de la transcendance de est que celui-ci
n’est pas constructible. En e¤et, le théorème de Wantzel énonce en particulier que tout nombre constructible est algébrique. En raison du fait que les
coordonnées de tous les points pouvant se construire à la règle et au compas sont des nombres constructibles, la quadrature du cercle est impossible ;
autrement dit, il est impossible de construire, uniquement à la règle et au
compas, un carré dont la super…cie serait égale à celle d’un cercle donné.

1.2.4

Représentation décimale

On a vu que le nombre est irrationnel, c’est-à-dire qu’on ne peut pas
l’exprimer comme un rapport de deux nombres entiers ; ceci entraîne que
son écriture décimale n’est ni …nie, ni périodique. Les 16 premiers chi¤res de
l’écriture décimale de sont 3,141 592 653 589 793.
Alors qu’en 2007, on connaît plus de 1012 décimales de , de nombreuses
applications n’ont besoin que d’une dizaine de chi¤res, comme l’estimation
de la circonférence d’un cercle. Par exemple, la représentation décimale de
tronquée à 39 décimales est su¢ sante pour estimer la circonférence d’un cercle
dont les dimensions sont celles de l’univers observable avec une précision
comparable à celle du rayon d’un atome d’hydrogène.
Étant donné que est un nombre irrationnel, sa représentation décimale
n’est pas périodique et ne prend pas …n. La séquence des décimales de a

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

24

toujours fasciné les mathématiciens et les amateurs, et beaucoup d’e¤orts ont
été mis en œuvre a…n d’obtenir de plus en plus de décimales et d’en rechercher
certaines propriétés. Malgré les importants travaux d’analyse e¤ectués et
les calculs qui ont réussi à déterminer plus de 200 milliards de décimales
de , aucun modèle simple n’a été trouvé pour décrire la séquence de ces
chi¤res. Les chi¤res de la représentation décimale de sont disponibles sur
de nombreuses pages web, et il existe des logiciels de calcul des décimales de
qui peuvent en générer des milliards et qu’on peut installer sur un ordinateur
personnel.
Par ailleurs, le développement décimal de ouvre le champ à d’autres
questions, notamment celle de savoir si
est un nombre normal, c’est-àdire que ses chi¤res en écriture décimale sont équirépartis. On peut aussi se
demander si est un nombre univers, ce qui signi…e qu’on pourrait trouver
dans son développement décimal n’importe quelle suite …nie de chi¤res. En
2006, il n’existait pas de réponse à ces questions.

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

25

Tableau récapitulatif
Civilisation(Mathématicien)
Babylonniens
Grecques (Archimede)
Musulmans (El Khawarizmi)
Musulmans (El Kaschi)
Europe (Viete)
Europe (Adrien Romain)
Europe (John Machin)
Europe (Johann Dase)
Europe (WilliamShanks)
Europe (John von Neumann )
Europe (Brent et Salamin)
Japon (Yasumasa Kanada)
Japon-USA(Kanada)

1.3

Date
2000
250
800
1450
1579
1591
1706
1844
1900
1949
1973
1999
2010

Valeur app. de
3: 001 2
3; 14185
3:1415
3:1415926535
3:141592653589
3:141592653589793
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::
3:141592653589793:::

décimales exactes après 3
0
3
4
10
12
15
100
200
700
2037(avec un ordinateur)
1000000
206 158 430 000
5 000 milliards

Dé…nition axiomatique des nombres réels

Dans cette partie on va dé…nir l’ensemble des nombres réels de façon
axiomatique. C’est à dire que l’on appellera ensemble des nombres réels, tout
ensemble qui veri…era certaines propriétés qu’on nommera axiomes. Comme
on le verra plus tard, on de…nit R à partir de quinze axiomes. Parmi les
quinze axiomes, Q en véri…e quatorze. L’ensemble des rationnels Q ne véri…e
pas le 15ème axiome. Ce dernier axiome introduit la notion de Minorants,
Majorants, Sup, inf. C’est ce que nous allons dé…nir maintenant.

1.3.1

Relation d’ordre, Minorants, Majorants, Sup, inf,
Maximum, Minimum

Relation d’ordre
Dé…nition 1.3 Une relation binaire R sur un ensemble E (c’est à dire
une correspondance entre des couples (x,y) de E) est dite relation d’ordre si
elle est :
# re‡exive, c’est à dire 8x 2 E : xRx
# transitive, c’est à dire 8x; y; z 2 E : (xRy et yRz) =) xRz
# antisymetrique, c’est à dire 8x; y 2 E : (xRy et yRx) =) x = y

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

26

Exemple 1.3 Dans l’ensemble Q des nombres rationnels, la relation
dé…nie par
xRy , x y

est une relation d’ordre.

Remarque 1.1
Dans toute la suite, on note xRy par x y et par x < y si (x y et
x 6= y): En général une relation d’ordre sur un ensemble E; ne permet pas
de comparer tous les éléments de E:
Dé…nition 1.4 Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre qu’on
note ; E est dit totalement ordonné ou que la relation d’ordre est totale,
si quels que soient les éléments x et y de E tels que x 6= y; on a toujours :
(x < y) ou (y < x)
Si un ensemble ordonné n’est pas totalement ordonné, on dit qu’il est partiellement ordonné.

Minorants, Majorants, Sup, inf, Max, Min
Dé…nition 1.5 Soit E un ensemble ordonné (par la relation d’ordre
et A une partie non vide de E:

)

– On dit que M 2 E est un majorant de A si et seulement si pour tout
x 2 A; on a x M: On dira aussi que A est majorée par M:
– On dit que m 2 E est un minorant de A si et seulement si pour tout
x 2 A; on a x m: On dira aussi que A est minorée par m:
– Lorsque "M " est un majorant de A et appartient à A, on l’appelle dans
ce cas le maximum de A: On le note
M = max (A) :

– Lorsque "m" est un minorant de A et appartient à A, on l’appelle dans
ce cas le minimum de A: On le note
m = min (A) :

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

27

– Lorsque A est majorée et si l’ ensemble de ses majorants a un plus
petit élément ; alors est appelé la borne supérieure de A: La borne
supérieure est donc le plus petit des majorants. Dans ce cas on écrit
= min fM 2 E : M majorant de Ag = sup A:

(1.9)

– Lorsque A est minorée et si l’ ensemble de ses minorants a un plus
grand élément ; alors
est appelé la borne inférieure de A: La
borne inférieure est donc le plus grand des minorants. Dans ce cas on
écrit
= max fm 2 E : m minorant de Ag = inf A:

(1.10)

– Si A est à la fois majorée et minorée, on dit alors que A est bornée.
Exemple 1.4
Prenons E = N, A = f0; 1; 2; 3; 4g : M = 4 ou M = 5 ou M = 6:::sont
tous des majorants de A:En e¤et, puisque A contient 5 éléments, il su¢ t de
véri…er la dé…nition pour ces 5 éléments. Puisqu’on a
0

4; 1

4; 2

4; 3

4; 4

4:

Donc on a la proposition suivante :
9M = 4 tel que 8x 2 A; x

M

Donc M = 4 est un majorant de A: L’ensemble A est donc majoré. Notons
par M l’ensemble de tous les majorants de l’ensemble A:
M = fx 2 N tels que x

4g = f4; 5; 6; 7; :::g :

On a bien sur :
8x 2 M : x

4 et 4 appartient a l0 ensemble M.

Donc 4 est le plus petit élément de M. Par dé…nition :
4 = sup(A):
D’autre part, 4 appartient aussi à l’ensemble A: Donc par dé…nition :
4 = sup(A) = max(A):

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

28

On fait le même raisonnement, on obtient :
0 = inf(A) = min(A):
Exemple 1.5
Considérons E = Z et A = fa 2 Z : a2

25g :

A = f 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5g
Il n’est di¢ cile de trouver au moins un majorant M de l’ensemble A: On
peut prendre M = 5ou M = 6 ou M = 7:::On peut véri…er facilement que
par exemple M = 5 est un majorant de A: En e¤et. On a
5

5;

4

5;

3

5;

2

5;

1

5; 0

5; 1

5; 2

5; 3

5; 4

5; 5

Donc on a la proposition suivante :
9M = 5 tel que : 8x 2 A; x

M

Donc M = 5 est un majorant de A et par conséquent l’ensemble A est donc
majoré. Notons par M l’ensemble de tous les majorants de l’ensemble A:
M = fx 2 Z tels que x

5g = f5; 6; 7; :::g :

On a bien sur :
8x 2 M : x

5 et 5 appartient a l0 ensemble M.

Donc 5 est le plus petit élément de M. Par dé…nition :
5 = sup(A):
D’autre part, 5 appartient aussi à l’ensemble A: Donc par dé…nition :
5 = sup(A) = max(A):
Notons par N l’ensemble des minorants de A:
N = fx 2 Z tels que x
D’autre part
quent :

5g = f:::; 8; 7; 6; 5g

5 2 N . Donc le plus grand élément de N est
5 = inf(A) = min(A):

Exemple 1.6
E = N; A = fx 2 N : 5

x2

25g :

5. Par consé-

5:

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

29

0 < 5 =) 0 2
=A
2
1 = 1 < 5 =) 1 2
=A
22 = 4 < 5 =) 4 2
=A
2
3 = 9 > 5 et 9 < 25 =) 3 2 A
42 = 16 > 5 et 16 < 25 =) 4 2 A
52 = 25 > 5 et 25 = 25 =) 5 2 A
62 = 36 > 5 mais 62 = 36 > 25 =) 6 2
=A
Donc
A = f3; 4; 5g
Notons par M l’ensemble de tous les majorants de l’ensemble A:
M = fx 2 N tels que x

5g = f5; 6; 7; :::g :

Le plus petit élément de cet ensemble est 5: Donc et par dé…nition
sup(A) = max(A) = 5
Notons par N l’ensemble des minorants de A:
N = fx 2 N tels que x

3g = f0; 1; 2; 3g

Le plus grand élément de N est 3 et 3 2 A: Par conséquent :
3 = inf(A) = min(A):
Exemple 1.7
E = Z, A = fx 2 Z : x2 36g :
0; 1; 2; 3; 4; 5 n’appartiennent pas à A car leur carré est inferieur ou egal
à 25
1; 2; 3; 4; 5 n’appartiennent pas à A car leur carré est inferieur
ou egal à 25
Si x 6 =) x2 36 ) x 2 A
Si x
6 ) x2 36 ) x 2 A
Par conséquent
A = f::::; 8; 7; 6; 6; 7; 8; :::g
L’ensemble A n’est pas majoré et n’est pas minoré. Donc sup(A) et inf(A)
n’existent pas. On pose par convention
sup(A) = +1 et inf(A) =
Remarque 1.2 (importante)

1

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

30

Nous avons vu dans l’exemple 1.4, un ensemble dans Z qui n’a pas de
majorant. Dans ce cas on ne peut pas parler de sup. Nous verrons qu’il existe
des ensembles dans Q qui ont des majorants dans Q, mais n’admettent pas
de sup dans Q. En d’autres termes l’ensemble M de tous les majorants n’a
pas de plus petit élément.
La proposition suivante nous fournit l’exemple qui prouve celà
Proposition 1.3 Soit A = fr 2 Q : r2 < 2g : Alors sup(A) et inf(A)
n’existent pas dans Q.
Preuve de la Proposition 1.3
On a
8r 2 A :

2 < r < 2:

L’ensemble A est donc majoré et minoré. Supposons maintenant que sup(A)
existe et que
p
sup(A) = 2 Q
q
sup(A) est un majorant et par dé…nition de l’ensemble A, on a :
8r 2 A : r2 < 2

et r2

(sup(A))2

Comme l’équation x2 = 2 n’a pas de solutions dans Q (voir Proposition 1.1),
il en résulte deux possibilités pour sup(A) :
sup(A)2 =

p2
<2
q2

ou bien sup(A)2 =

p2
>2:
q2

Supposons par exemple que
p2
<2:
q2
Montrons d’abord que pour tout n 2 N véri…ant
n>

2p
q

+1
p2
q2

2
on a :
p 1
+
q n
En e¤et :
p 1
+
q n

2

=

2

(1.11)

< 2:

p2
p
1
+2 + 2
2
q
qn n

p2
p
1
+2 + :
2
q
qn n

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
p
q

La relation (1.11) implique que
toujours

+

1
n

31

2 A: D’autre part, puisque on a

p
p 1
< + ;
q
q n
on a
sup(A) =

p 1
p
< + 2 A:
q
q n

2

Notre hypothèse pq2 < 2 nous a permis de trouver un élément de l’ensemble
A qui dépasserait strictement le sup de A: Ceci est en contradiction avec la
dé…nition du sup(A) qui est un majorant de A; donc véri…erait normalemant :

Conclusion l’hypothèse

p2

8r 2 A : sup(A)

r:

< 2 est impossible. On démontre de la même

q2
2
manière que l’hypothèse pq2 > 2 est impossible aussi. Puisque,
2
proposition 1.1 pq2 = 2 est impossible, on conclut que l’ensemble

d’après la
A ne peut

avoir de sup rationnel.
Dé…nition 1.6 On dit qu’un ensemble E posséde la propriété de la borne
supérieure, si toute partie non vide majorée de E admet une borne supérieure.
Remarque 1.2 (bis)
D’après la proposition 1.3, l’ensemble Q ne possède pas la propriété de la
borne sup car on peut trouver dans Q un ensemble majoré ne possédant pas
de sup.
Nous allons donc plonger Q dans un ensemble plus vaste nommé ensemble
des nombres réels et noté R; dans lequel les défauts rencontrés dans les propositions 1.1 et 1.3 disparaitront. En d’autres termes, dans R; on aura toujours
les deux faits caractéristiques suivants :
a) L’équation x2 = 2 a toujours une solution
b) Tout sous ensemble non vide et majoré de R, admet un sup
appartenant à R:
Dé…nissons donc l’ensemble des nombres réels R, de façon axiomatique
de sorte que le point b) soit véri…é.

1.3.2
1.3.3

Introduction axiomatique des nombres réels

Dé…nition 1.7 (axiomes des nombres réels) Le corps des nombres
réels est un ensemble noté R; dans lequel sont dé…nies deux lois l’addition

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

32

notée + et la multiplication notée ( :)
(x; y) ! x + y (addition)
(x; y) ! x:y (multiplication)
et une relation d’ordre notée
(A15 ) suivants :

(ou

); satisfaisant les axiomes (A1 ) ; (A2 ) ; (A3 ) ; (A4 ) ; (A5 ) ; (A

Axiomes de l’addition
Axiome (A1 ) : (commutativité de l’addition)
x + y = y + x , pour tout x; y appartenant à R
Axiome (A2 ) : (associativité de l’addition)
x + (y + z) = (x + y) + z , pour tout x; y; z appartenant à R
Axiome (A3 ) : il existe un élèment neutre noté 0; pour l’addition véri…ant
: 0+x=x+0=x
Axiome (A4 ) : pour tout x appartenant à R; il existe un élèment noté
x 2 R véri…ant : x + ( x) = 0

Axiomes de la multiplication

Axiome (A5 ) : x:y = y:x pour tout x; y appartenant à R (commutativité
de la multiplication)
Axiome (A6 ) x:(y:z) = (x:y) :z pour tout x; y; z appartenant à R
(associativité de la multiplication)
Axiome (A7 ) il existe un élément neutre pour la multiplication noté
1 6= 0, véri…ant : 1:x = x:1 = x pour tout x appartenant à R
Axiome (A8 ) pour tout x 6= 0, il existe un élément inverse noté x 1 tel
que x:x 1 = 1
Axiome (A9 ) x:(y + z) = x:y + y:z (disitributivité), pour tout x; y; z
appartenant à R

Axiomes associés à la relation d’ordre

Axiome (A10 ) : x
y et y
z =) x
z (transitivite); pour tout
x; y; z appartenant à R
Axiome (A11 ) : x y et y
x =) x = y (Antisymetrie); pour tout
x; y appartenant à R
Axiome (A12 ) : pour deux élèments quelconques x; y appartenant à R,
on a : x
y ou bien y x ; (Ordre total)
Axiome (A13 ) : x
y =) x+z
y+z, pour tout x; y; z appartenant
àR
Axiome (A14 ) : 0
x et 0
y =) 0
x:y; pour tout x; y;
appartenant à R
Axiome de la borne supérieure (spéci…que à R)
(A15 ) Toute partie non vide et majorée de R admet un sup.

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

33

Remarque 1.3
La question naturelle qui se pose est la suivante. Peut on construire un ensemble muni de deux lois de composition internes + et :; véri…ant les axiomes
A1 à A15 : La réponse est a¢ rmative. En fait l’ensemble Q muni de l’addition
et de la multiplication classique, véri…e les axiomes A1 à A14 : Ce qui caractérise R de Q c’est l’axiome de la borne supérieure (A15 ) : Les mathématiciens
ont fait beaucoup de constructions de R. Citons deux très célèbres, celle de
Dedekind qui utilisa les coupures de Dedekind et celle de Cauchy qui utilisa
les limites de suites dites de cauchy. Nous n’aborderons pas ces questions
dans ce cours.

Remarque 1.3 (bis)
Nous supposerons dans ce cours qu’il existe un ensemble véri…ant les
axiomes (A1 ) ; (A2 ) ; (A3 ) ; (A4 ) ; (A5 ) ; (A6 ) ; (A7 ) ; (A8 ) ; (A9 ) ; (A10 ) ; (A11 ) ; (A12 ) ; (A13 ) ; (A
Toutes les autres propriétés de l’ensemble des nombres réels seront une
conséquence des axiomes (A1 ) ::: (A15 ) :

1.3.4

Propriété caractéristique du sup

Soit E un sous ensemble de R non vide et majoré. D’après l’axiome
(A15 ) ; il existe un nombre M0 2 R tel que
M0 = sup(E)
La question qui se pose est la suivante : Comment calculer sup(E): En
mathématiques les problèmes d’existence et de calcul sont deux problèmes
di¤érents. IL est di¢ cile en utilisant la dé…nition de démontrer qu’un nombre
réel M0 est le sup de l’ensemble E: Si on connait un majorant M0 de E, il n’est
pas facile de prouver que tout autre majorant M de E véri…e : M M0 (en
d’autres termes M0 est le plus petit des majorants de E:)
Le théorème 1.1 suivant va nous faciliter un peu la tache. Si un nombre
réel M0 véri…e les deux propositions a) et b) du théorème 1.1, alors M0 est
le sup de l’ensemble E: La réciproque est aussi vraie.
Théorème 1.1 Soit E
R un ensemble non vide et majoré et M0 un
nombre réel. Alors si
a) 8x 2 E : x M0 et b) 8" > 0 9x0 2 E tel que M0 " < x0 , alors
M0 = sup(E)
Réciproquement si M0 = sup(E); alors a) 8x 2 E : x M0 et b) 8" >
0 9x0 2 E tel que M0 " < x0

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

34

Preuve du Théorème 1.1
a) ) M0 est un majorant de E:
b) ) M0 est le plus petit des majorants. En e¤et. Supposons le contraire.
Alors
9M1 : majorant de E tel que M1 < M0 :
(#)
M0 M1
2

Utilisons maintenant l’a¢ rmation b): Prenons " =
point b), il existe x0 2 E; tel que
x0 > M 0

M0

M1
2

=

2M0

> 0; d’après le

M0 + M1
M0 + M1
=
2
2

or d’après (#), on a
M0 M1
M 1 M1
M0 + M1
=
+
>
+
= M1
2
2
2
2
2
Résumons. Si M0 n’est pas le plus petit des majorants de E; alors il existe
x0 2 E et un majorant M1 de E tels que
(##)

x0 > M 1

(##) est en contradiction avec le fait que M1 est un majorant de E:
a) et b) ) M0 = sup(E):
Réciproquement
M0 = sup(E) ) (par def inition) : M0 est un majorant de E ) 8x 2
E : x M0 ) a)
M0 = sup(E) ) (par def inition) : M0 est le plus petit des majorants de
E, c’est à dire que, si M est un majorant quelconque de E; alors
M

Soit " > 0 quelconque. Considérons M1 = M0
M0

(i)

M0 :
": On a bien sur

(ii)

" < M0 ;

i) et ii) impliquent que M1 n’est pas un majorant de E: Par conséquent et
en écrivant la négation de la proposition suivante :
non (8x 2 E : x

M1 = M0

"):

On obtient : il existe x0 2 E tel que : x0 > M1 = M0
Comme corollaire du théorème1.1, on obtient

"; d’où b):

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
Théorème 1.2 Soit E
nombre réel. Alors on a
8
<
m0 = inf(E) ,
:

35

R un ensemble non vide et minoré et m0 un
9
a0 ) 8x 2 E : x m0
=
et
;
b0 ) 8" > 0 9x0 2 E : m0 + " > x0

Preuve du théorème 1.2 :
Elle est semblable à celle de la preuve du théorème1.1. Voir série de TD1

Comment appliquer le théorème1.1 et le théorème 1.2
Nous allons montrer dans les deux exemples suivants comment le théorème1.1 et le théorème 1.2 nous simpli…ent la tache pour montrer qu’un
nombre réel M ou m est le sup ou l’inf d’un ensemble.
Exemple 1.8
Soit A = 1; 21 ; 13 ; 14 ; :::: = n1 ; n = 1; 2; :::
i) Montrez que A est un ensemble non vide, majoré et minoré.
ii) Montrez en utilisant le théorème1.1 que sup (A) = max(A) = 1
iii) Montrez en utilisant le théorème1.2 que inf (A) = 0
iv) Montrez que min (A) n’existe pas.
Solution
i) A = n1 ; n = 1; 2; ::: : On a
P our tout n verif iant : n

1; on a :

1
n

1:

1 est donc un majorant de A: D’autre part on a
P our tout n verif iant : n

1 on a :

1
> 0:
n

0 est donc un minorant de A: A est non vide car 12 2 A:
ii) sup(A) et inf(A) existent d’après l’axiome de la borne supérieure.
Montrons que sup (A) = 1: Pour celà utilisons le théorème1. Le point a) a
été démontré. Reste à prouver le point b).
Prenons " > 0 quelconque. Montrons qu’il existe x0 2 A; tel que :
x0 > 1

":

(*)

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

36

En e¤et, prenons x0 = 1 2 A: Puisque 1 > 1 " pour tout " > 0:Donc
x0 = 1 véri…e la relation (*). D’autre part x0 = 1 2 A; donc
1 = sup(A) = max(A)
iii) Montrons que inf(A) = 0: Utilisons le théorème1.2. Le point a’) a été
démontré. Reste à prouver le point b’). Prenons " > 0 quelconque. Montrons
qu’il existe x0 2 A; tel que :
0 + " > x0
les éléments de A s’écrivent sous la forme n1 ; notre problème revient donc à
trouver n 2 N tel que
">

1
ou encore n > :
"

1
n

Pour " > 0; choisissons d’abord n 2 N telle que n > 1" (par exemple si
" = 0:01; on peut prendre n = 101 ou 102 ou 103; ::): Une fois n 2 N choisi,
on prend x0 = n1 . Avec ces choix, on a
0 + " > x0 =

1
n

La relation (b’) est véri…ée pour m0 = 0: Donc
inf(A) = 0:
iv) On a :
1
> 0 =) 0 2
= A:
n
Par conséquent min(A) n’existe pas.
8n

1:

Exemple 1.9
Montrez en utilisant les théorèmes 1.1 et 1.2 que :
i) sup ([1; 2[) = 2
ii) inf (]1; 2[) = 1
Solution
i) Par dé…nition
8x 2 [1; 2[ : 1

x < 2 =) 8x 2 [1; 2[ : x

2:

Donc le point a) du théorème1.1 est véri…é. Reste à démontrer le point b) du
théorème1.1, c’est à dire montrons que :
8" > 0; 9x0 2 [1; 2[ tel que 2

" < x0 :

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
En e¤et Soit " > 0 quelconque. On a deux cas :
Cas1 : " > 1
Alors " < 1 et 2 " < 1: Puisque tout x 2 [1; 2[ véri…e x
8x 2 [1; 2[ on a : 2

"<1

37

1: Donc

x:

Par conséquent, 8" > 0; 9x0 2 [1; 2[ (on peut prendre n’importe quel point
x 2 [1; 2[) tel que
2 " < x0 :
Cas2 0 < " < 1
Alors 1 < " < 0 =) 1 < 2 " < 2: Il su¢ t donc de prendre n’importe
quel point x0 tel que :
2 " < x0 < 2
Ceci étant, on a bien sur : x0 2 [1; 2[ et 2

" < x0 :

ii) On procède de la manière pour inf (]1; 2[) = 1:
Notations courantes
R = fx 2 R : x 6= 0g = Rn f0g :
R+ = fx 2 R : x 0g :
R+ = fx 2 R : x > 0g :
R = fx 2 R : x 0g :
R = fx 2 R : x < 0g :

1.4

Propriétés caractéristiques de l’ensemble
des nombres réels

1.4.1

Propriété d’Archimède et densité de Q et de RnQ
dans R

Théorème 1.3 le corps R est archimédien, c’est à dire :
(8x 2 R+ ; 8y 2 R) (9n 2 N ) tel que : y < nx:

(1.12)

Preuve du théorème 1.3
Soit x 2 R+ et y 2 R; alors on a deux cas :
Cas 1 : y 0 alors la propriété est véri…ée pour tout n 2 N :
Cas 2 : Si y > 0; on raisonne par l’absurde. Donc supposons donc qu’il
existe x > 0 tel que

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

(8n 2 N ) ; nx

38

(1.13)

y:

Dans ce cas, considérons l’ensemble A suivant :
A = fnx : n 2 N g = fx; 2x; 3x; :::; nx; :::g :
On a bien sûr :
a) A est non vide (x 2 A)
b) A est majorée par y:
D’après l’axiome de la borne supérieure, A admet une borne supérieure
:
Par ailleurs, x 2 A et x > 0: Donc
0<x
Donc

sup(A) = :

> 0: Puisque sup(A) est le le plus petit des majorants, alors
8" > 0; 9x0 2 A : x0 >

Prenons dans (1.14) : " =

":

(1.14)

1
: Alors il existe un n0 2 N tel que
2
n0 x >

1
;
2

(1.15)

ce qui implique
2n0 x > :
Ceci est absurde car
est la borne supérieure de A. (En e¤et d’après la
dé…nition du sup, qui est un majorant, on aurait du avoir pour l’élément
x0 = 2n0 x; la relation : 2n0 x
)
Corollaire 1.1 L’ensemble N n’est pas majoré.
Preuve du corollaire 1.1
Prenons dans le théorème 1.3, x = 1. On obtient
8y 2 R; 9n 2 N

tel que : n > y

C’est exactement la négation de : N est majoré.
Dé…nition 1.8 On dit qu’une partie non vide A R est dense dans R
si et seulement si pour tout nombre x 2 R et pour tout nombre y 2 R tels
que x < y; il existe r 2 A tel que x < r < y:

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

39

Théorème 1.4 L’ensemble Q est dense dans R:
Preuve du théorème 1.4
La preuve du théorème 4 sort du cadre de ce cours.
Ce théorème veut dire qu’entre deux nombres réels quelconques, on peut
insérer un nombre rationnel
Théorème 1.5 L’ensemble des nombres irrationnels RnQ est dense dans
R:
Preuve du théorème 1.5
La preuve du théorème 1.5 sort du cadre de ce cours.
Ce théorème veut dire qu’entre deux nombres réels quelconques, on peut
insérer un nombre irrationnel

1.4.2
1.4.3

Partie entière d’un réel

Théorème 1.6 Pour tout réel ; il existe un unique
< + 1:

2 Z tel que

Dé…nition 1.9 Soit x 2 R; l’entier
2 Z tel que
x <
s’appelle partie entière de x et on le note E (x) ou encore [x] :

+ 1;

Exemple 1.10
Trouvons les parties entières de 1:5 et de 3:5; c’est à dire : E(1:5) et
E( 3:5)
(a) Puisque 1 1:5 < 2 ) [1:5] = 1:
(b) Puisque 4
3:5 < 3 ) [ 3:5] = 4

1.4.4

Valeur absolue d’un nombre réel

Dé…nition 1.10 A tout nombre réel x; on peut lui associer un nombre
positif noté jxj appelé valeur absolue de x et dé…ni par
8
< x si x > 0
0 si x = 0
jxj =
(1.16)
:
x si x < 0

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

40

On résume les propriétés de la valeur absolue dans le théorème suivant.
Théorème 1.7
(i) jxj a () a x a
(ii) 8x 2 R; 8y 2 R; jxyj = jxj jyj :
(iii) 8x 2 R; 8y 2 R; ; jx + yj jxj + jyj :
Preuve du théorème 1.7
i) Rappelons que par dé…nition
x si x 0;
x si x 0:

jxj =
Evidemment
jxj

jxj :

x

On a
jxj

a ()

jxj

a;

d’où
jxj

a ()

a

jxj

x

jxj

a:

ii) On a quatre cas :
Cas1 x 0 et y 0:
D’après l’axiome A14 ;
x

0 et y

0 =) x:y

0:

D’après la dé…nition de la valeur absolue
0 =) jxyj = xy
0 et y 0 =) jxj = x et jyj = y

x:y
x
Donc

jxyj = jxj jyj
Cas2 x
On a

0 et y

0:
y

0 et x ( y) =

(xy) > 0

Dans ce cas on a :
jxyj =
Cas3 x

0 et y

0

(xy) = x( y) = jxj jyj :

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

41

On utilise dans ce cas la relation
( x) ( y) = xy:
iii) Utilisons i) pour démontrer iii). D’après i), iii) est équivalente à (en
posant dans i) a = jxj + jyj)
jx + yj

jxj + jyj ,

(jxj + jyj)

jx + yj

jx + yj

(jxj + jyj)

(jxj + jyj)

Donc prouvons que
(jxj + jyj)
On a
jxj

x

jxj

jyj

y

jyj :

et
D’après A13 ; ajoutons membre à membre les 2 dernières inégalités, on obtient
jxj

jyj

x+y

jxj + jyj ;

d’où le résultat.
Théorème 1.8
(i) 8x 2 R; jxj = max ( x; x) :
(ii) 8x 2 R; 8y 2 R+ ; ( y x y , jxj y) :
(iii) 8x 2 R; 8y 2 R; jjxj jyjj jx yj :
Preuve du théorème 1.8
La preuve est laissée à titre d’exercice (voir série de TD1).

1.4.5

Ensembles particuliers de R

Dé…nition 1.11 Soit a; b 2 R : a < b:
– On appelle intervalle ouvert et on note ]a; b[ ; l’ensemble fx 2 R; a < x < bg :
– On appelle intervalle fermé et on note [a; b] ; l’ensemble fx 2 R; a x bg :
– On appelle intervalle semi ouvert à droite et on note [a; b[ ; l’ensemble
fx 2 R; a x < bg :
– On appelle intervalle semi ouvert à gauche et on note ]a; b] ; l’ensemble
fx 2 R; a < x bg :

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

42

SERIE DE TD N 1
CHAPITRE 1 : NOMBRES REELS
Exercice 1.1 : Montrez en utilisant les axiomes A1
réels que

A15 des nombres

y () x + z y + z
a () a x a

a) x
b) jxj

Solution
Ces relations sont des conséquences de l’axiomes A13 :
Montrons par exemple a). Rappelons l’axiome A13 :
8x; y; z 2 R : x

y =) x + z

y + z:

Donc il su¢ t de montrer que
8x; y; z 2 R : x + z
En apliquant A13 à x + z
x+z

y + z =) x

y

y + z; on obtient :

y + z =) (x + z) + ( z)

(y + z) + ( z) :

D’après A2 et A3 , on a
(x + z) + ( z) = x et

(y + z) + ( z) = y;

donc
x+z

y + z =) x

y;

d’où la relation a).
Montrons b). Rappelons que par dé…nition
x si x 0;
x si x 0:

jxj =
Evidemment
jxj

jxj :

x

On a
jxj

a ()

jxj

a;

d’où
jxj

a ()

a

jxj

x

jxj

a:

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

43

Exercice 1.2 : Montrez que 8x; y 2 R
a)
jx + yj
jxj + jyj
b) jjxj jyjj
jx + yj
c) jx yj = jxj jyj
Solution
a) D’après l’exercice1 b), on a :
jx + yj

jxj + jyj ()

(jxj + jyj)

(x + y)

jxj + jyj

Ajoutons menbre à membre les relations
jxj

jxj

x

jyj

et

y

jyj ;

ce qui est légitimes d’après A13 : On aura
jxj

jyj

x+y

jxj + jyj ;

d’où le résultat.
b) D’après linégalité triangulaire
jxj = jx + y

yj

jx + yj + jyj =) jxj

jyj

jx + yj

jyj = jx + y

xj

jx + yj + jxj =) jyj

jxj

jx + yj

De même

On obtient donc :
(jx + yj)

jxj

jyj

jx + yj

En prenant en considération la relation de l’exercice 1b), les relations précédentes sont équivalentes à
jjxj
c)
Ceci est évident, si x 0; y
absolue.
Si x > 0 et y < 0; on a :

jyjj

jx + yj :

0; d’après A14 et la dé…nition de la valeur

y > 0 et x ( y) =

(xy) > 0

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

44

L’a¢ rmation en résulte, car dans ce cas on a :
jxyj =

(xy) = x( y) = jxj jyj :

De façon analogue on considère le cas x < 0; y < 0, en se servant de la
relation ( x) ( y) = xy:
Exercice 1.3 : Montrez en utilisant l’axiome de la borne supérieure que
toute partie non vide et minorée E R admet une borne inférieure et que
inf(E) =

sup ( E) :

Solution
Soit m un minorant de E. Alors par dé…nition on a :
8x 2: x
Ceci implique que le nombre

m =)

x

m:

m est un majorant de l’ensemble
E = f x : x 2 Eg :

D’après l’axiome A15 ; sup ( E) existe. Montrons que
inf E =

sup ( E) :

En e¤et, pour tout x 2 E on a
x

sup ( E) ;

soit
x

sup ( E) ;

donc sup ( E) est un minorant de E. Reste à montrer que sup ( E)
est le plus grand des minorants de E; c’est à dire qu’on doit montrer la
propriété suivante :
8" > 0; 9x0 2 E tel que : x0 <

sup ( E) + ":

En e¤et. Soit " > 0 quelconque. Par dé…nition sup ( E) est le plus petit des
majorants de l’ensemble ( E) : Donc sup ( E) " perd sa propriété d’être
un majorant de ( E) ; c’est à dire qu’il existe y0 2 E ( y0 = x0 ; x0 2 E),
tel que :
y0 > sup ( E) ":
Soit en remplaçant :
8" > 0; 9x0 2 E tel que :

x0 > sup ( E)

";

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

45

ou encore
8" > 0; 9x0 2 E tel que : x0 <

sup ( E) + ":

C’est exactement la relation cherchée.
Exercice 1.4 : Soit E

R une partie majorée et non vide montrez que :
a) 8x 2 E : x M0 et
b) 8" > 0 : 9x0 2 E tel que M0 " < x0

M0 = sup (E) =)
et
m0 = inf (E) ,

a) 8x 2 E : x m0 et
b) 8" > 0 : 9x0 2 E tel que m0 + " > x0

Solution Exercice 4
Nécessité :)
M0 = sup(E) ) (par def inition) : M0 est un majorant de E ) 8x 2
E : x M0 ) a)
M0 = sup(E) ) (par def inition) : M0 est le plus petit des majorants de
E, c’est à dire que, si M est un majorant quelconque de E; alors
M

Soit " > 0 quelconque. Considérons M1 = M0
M0

(#)

M0 :
": On a bien sur

(##)

" < M0 ;

#) et ##) impliquent que M1 n’est pas un majorant de E: Par conséquent
et en écrivant la négation de la proposition suivante :
non (8x 2 E : x

M 1 = M0

"):

On obtient : il existe x0 2 E tel que : x0 > M1 = M0 "; d’où b):
Su¢ sance
a) ) M0 est un majorant de E:
b) ) M0 est le plus petit des majorants. En e¤et. Supposons le contraire.
Il existe M1 majorant de E tel que M1 < M0 : Prenons " = M0 2 M1 ; d’après
le point b), il existe x0 2 E; tel que
x0 > M 0

M0

M1
2

=

2M0

M0 + M1
M0 + M1
=
> M1 ) M1 n’est pas un majorant de E.
2
2

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

46

a) et b) ) M0 = sup(E):
Exercice 1.5 : Montrez en utilisant l’exercice 4 que :
i) sup ([1; 2[) = 2
ii) inf (]1; 2[) = 1
Solution Exercice5
i) Par dé…nition
8x 2 [1; 2[ : 1

x < 2 =) 8x 2 [1; 2[ : x

2:

Donc le point a) de l’exercice4 est véri…é. Reste à démontrer le point b) de
l’exercice 4, c’est à dire montrons que :
8" > 0; 9x0 2 [1; 2[ tel que 2

" < x0 :

En e¤et Soit " > 0 quelconque. On a deux cas :
Cas1 : " > 1
Alors " < 1 et 2 " < 1: Puisque tout x 2 [1; 2[ véri…e x
8x 2 [1; 2[ on a : 2

"<1

1: Donc

x:

Par conséquent, 8" > 0; 9x0 2 [1; 2[ (on peut prendre n’importe quel point
x 2 [1; 2[) tel que
2 " < x0 :
Cas2 0 < " < 1
Alors 1 < " < 0 =) 1 < 2 " < 2: Il su¢ t donc de prendre n’importe
quel point x0 tel que :
2 " < x0 < 2
Ceci étant, on a bien sur : x0 2 [1; 2[ et 2

" < x0 :

ii) On procède de la manière pour inf (]1; 2[) = 1:
Exercice 1.6 : Soit A = 1; 12 ; 13 ; 14 ; :::: = n1 ; n = 1; 2; :::
6.1) Montrez que A est un ensemble non vide, majoré et minoré.
6.2) Montrez que sup (A) = max(A) = 1
6.3) Montrez que inf (A) = 0
6.4) Montrez que min (A) n’existe pas.

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

47

Solution Exercice6
6.1) A = n1 ; n = 1; 2; ::: : On a
P our tout n verif iant : n

1; on a :

1
n

1:

1 est donc un majorant de A: D’autre part on a
P our tout n verif iant : n

1 on a :

1
> 0:
n

0 est donc un minorant de A: A est non vide car 12 2 A:
6.2) sup(A) et inf(A) existent d’après l’axiome de la borne supérieure.
Montrons que sup (A) = 1: Pour celà utilisons l’exercice 1.4. Le point a) a
été démontré. Reste à prouver le point b).
Prenons " > 0 quelconque. Montrons qu’il existe x0 2 A; tel que :
x0 > 1

":

En e¤et, prenons x0 = 1: Remarquons d’abord que x0 = 1 véri…e la relation
précédente, car on a toujours pour tout " > 0 :
1>1

"

D’autre part 1 2 A: Donc :
1 = sup(A) = max(A)
6.3) Montrons que inf(A) = 0: Utilisons l’exercice 4. Le point a) a été
démontré. Reste à prouver le point b). Prenons " > 0 quelconque. Montrons
qu’il existe x0 2 A; tel que :
0 + " > x0
les éléments de A s’écrivent sous la forme n1 ; notre problème revient donc à
trouver n 2 N tel que
">

1
n

1
ou encore n > :
"

Pour " > 0; si on prend x0 = n1 , avec n > 1" ; on aura nécessairement : x0 2 A
et 0 + " > x0 : La relation (b) est véri…ée. Donc
inf(A) = 0:
6.4) On a :
8n

1:

1
> 0 =) 0 2
= A:
n

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS

48

Par conséquent min(A) n’existe pas.
Exercice 1.7 : Démontrez que le carré d’un entier impair est impair.
Solution Exercice 7
Tout nombre impair s’écrit sous la forme
2

= 2m + 1; m 2 N. Alors

= (2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1

Comme 4m2 + 4m = 2 (2m2 + 2m) = 2k; k 2 N . Donc
2

Par conséquent

2

= 2k + 1

est impair.

Exercice 1.8 : On considère l’équation x2 = 2 . Montrez que cette
équation n’a pas de solution dans Q:
Solution Exercice 8
Supposons le contraire, c’est à dire qu’il existe un nombre rationnel pq
dont le carré vaut 2, où nous supposons que pq est irréductible, c’est-à-dire
que p et q n’ont pas de diviseurs communs entiers autre que 1 (on dit aussi
que p et q sont premiers entre eux).
Alors
2
p
p2
= 2 =2
q
q
ou encore
p2 = 2q 2 :
Par conséquent p2 est pair. Remarquons que
p2 pair =) p pair.
En e¤et. Si p est impair, alors p2 est impair d’après l’exercice 7. Ainsi on
peut écrire p = 2m:
Remplaçons p = 2m dans p2 = 2q 2 ; on obtient
4m2 = 2q 2 () q 2 = 2m2 :
il s’ensuit que q 2 est pair et q aussi:
p et q sont pairs, sont donc tous les deux multiples de 2: Ceci est en
contradiction avec l’hypothèse : p et q sont premiers entre eux.
Il n’existe donc pas de nombre rationnel dont le carré est égale à deux.
Exercice 1.9 : Soient a 2 Q et b 2 Q: tel que a < b: Montrez qu’il existe
toujours un nombre c 2 Q strictement compris entre a et b:

CHAPITRE 1. L’ENSEMBLE DES NOMBRES REELS
Aide : considerez c =

a+b
,
2

49

montrez que c 2 Q et que a < c < b:

Solution Exercice 9
Soient a et b deux nombres rationnels. Montrons que a+b
est un nombre
2
rationnel compris strictement entre a et b.
En e¤et. Supposons que a < b: En addionnant a de chaque coté, on a
2a < a + b et a <

a+b
:
2

De même en ajoutant b de chaque côté,
a + b < 2b et

a+b
< b:
2

Par conséquent
a+b
< b:
2
est nombre rationnel. En e¤et, soient

a<
Prouvons maintenant que
a=

a+b
2

p
r
et b = ; ou p; q; r; s
q
s

sont des entiers, avec
q 6= 0; s 6= 0:
Alors

a+b
1
=
2
2

p r
+
q s

=

p
3

p

1
2

ps + qr
2qs

est un nombre rationnel.
Exercice 1.10 : Montrez que

2+

3 est algébrique.

Solution Exercice
p
p 10
Soit x0 = 3 2 + 3: Il faut montrer que x0 est solution d’une équation
algébrique de la forme
a0 + a1 x + ::: + an xn = 0; ai 2 Z
En e¤et,
x0 =

p
3

2+

p

3 () x0

p

3=

p
3

2

En élévant à la puissance 3; les deux côtés et en simpli…ant, nous trouvons
x0

p

3

3

=2


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