Alain Nurbel Outils de statistique descriptive Tome 1 20 exercices corrigés

Alain Nurbel

Outils de statistique descriptive Tome 1
20 exercices corrigés sur les variations relatives, les
coefficients multiplicateurs et les indices

ANBL Editeur Economie Banque Assurance

Alain Nurbel1
« Outils de statistique descriptive Tome 1.
20 exercices corrigés sur les variations relatives, les coefficients multiplicateurs et les indices »
ANBL Editeur Economie Banque Assurance2, août 2025, 44p.

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1
Docteur en sciences économiques de l’Université de la Réunion. Enseignant, Directeur des études & Tuteur universitaire de la
Licence Professionnelle Assurance Banque Finance à l’IUT de la Réunion.
2
ANBL Editeur Economie Banque Assurance est une marque de contenus de formation en économie mis à disposition
gratuitement sur le web.

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Sommaire

Partie 1 – Notions de variation relative, de coefficient multiplicateur et d’indice
Exercices N°1 à N°11……………………………………………………………………………………………………………………………. 05

Partie 2 – Relations entre variation relative, coefficient multiplicateur et indice
Exercices N°12 à N°20…………………………………………………………………………………………………………………………. 29

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Avant-propos

Le présent document pédagogique intitulé « Outils de statistique descriptive Tome 1 – 20 exercices
corrigés sur les variations relatives, les coefficients multiplicateurs et les indices »3 a été réalisé par l’auteur
sur la période allant de 1990 à 2000, dans le cadre des séances de travaux dirigés consacrées à la
Macroéconomie, à la Comptabilité nationale et à l’Economie générale à la Faculté de Droit et d’Economie
de l’Université de la Réunion.

A travers 20 exercices corrigés, les étudiants de première année inscrits dans les filières de formation
initiale, de formation en alternance ou continue pourront redécouvrir et se réapproprier facilement les
notions de base de variation relative (ou variation en pourcentage), de coefficient multiplicateur et
d’indice. Ces notions de base sont utiles car leur mise en application apporte une plus-value dans la
rédaction des commentaires sur des tableaux statistiques.

3

Le présent document est un extrait amélioré du livre que l’auteur a publié en octobre 2004 en autoédition aux éditions
Publibook Université sous le titre : « Statistique descriptive. 40 exercices corrigés sur les variations » (106p.)

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Partie 1
Notions de variation relative, de coefficient multiplicateur et d’indice

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EXERCICE N°1
Le tableau ci-dessous donne l’évolution des quantités de fruits et légumes exportées par deux entreprises (E1 et
E2) d’un même pays entre 2001 et 2002 (en kilos).

Années

2001

2002

Exportations de E1 (kg)

580

812

Exportations de E2 (kg)

40

76

1°) Calculer la variation absolue des quantités exportées par ces deux entreprises. Que constatez-vous ?
2°) Calculer les variations relatives des quantités exportées par ces deux entreprises.
3°) Quel enseignement peut-il être tiré de la mise en parallèle des résultats ci-dessus ?

1°)
a) Soit X1 la quantité de fruits et légumes exportée par l’entreprise 1. La variation absolue de la
quantité exportée entre 2001 et 2002 s’obtient en faisant la différence entre la quantité exportée en 2002
et celle exportée en 2001. On a :
1
1
∆X 1 = X 2002
− X 2001
⇔

⇔

∆X 1 = 812 − 580
∆X 1 = + 232

Ainsi, la quantité de fruits et légumes que l’entreprise 1 exporte en 2002 a augmenté de 232 kilos par
rapport à l’année 2001.
b) Soit X2 la quantité exportée par l’entreprise 2. On a :
2
2
∆X 2 = X 2002
− X 2001
⇔

⇔

∆X 2 = 76 − 40
∆X 2 = + 36

Ainsi, la quantité de fruits et légumes que l’entreprise 2 exporte en 2002 a augmenté de 36 kilos par
rapport à l’année 2002.
On constate que c’est l’entreprise 1 qui a le plus fortement augmenté la quantité exportée de fruits et
légumes en valeur absolue.
∆X
,
X
s’obtient en faisant le rapport entre la variation absolue de la quantité exportée entre ces deux dates et la
quantité exportée initialement, c’est-à-dire en 2001.
2°)

a) La variation relative de la quantité exportée de fruits et légumes entre 2001 et 2002, notée

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b) Pour l’entreprise 1, on a :
1
1
∆X 1 X 2002
− X 2001
=
1
X1
X 2001

⇔

∆X 1 232
=
X1
580

⇔

∆X 1
= 0,4 = + 40%
X1

La quantité de fruits et légumes exportée par l’entreprise 1 augmente de 40% entre 2001 et 2002.

c) Pour l’entreprise 2, on a :
2
2
∆X 2 X 2002
− X 2001
=
2
X2
X 2001

⟺

△

=

⟺

△

= 0,9 = 90%

La quantité de fruits et légumes exportée par l’entreprise 2 augmente de 90% entre 2001 et 2002.

3°) Le tableau ci-dessous retrace les variations absolues et relatives de la quantité exportée de fruits et
légumes pour chaque entreprise.
E1

E2

∆X (kg)

+ 232

+ 36

∆X
X

+ 40%

+ 90%

Bien que l’entreprise 1 enregistre le nombre le plus élevé de kilos de fruits et légumes supplémentaires
exportés, elle apparaît comme l’entreprise qui a fait l’effort le moins important par rapport au niveau initial
de ses exportations. Ainsi, en relativisant l’effort absolu d’exportations au niveau initial de ces dernières,
c’est l’entreprise 1 qui est désignée comme étant l’entreprise la moins dynamique à l’exportation,
l’entreprise 2 étant alors l’entreprise la plus dynamique.
Ainsi, la variation relative ou variation en pourcentage d’une variable est un indicateur plus fiable que la
variation absolue en ce sens qu’elle permet toujours de relativiser cette dernière par rapport au niveau
initial de cette variable. La variation relative d’une variable apparaît, en quelque sorte, comme un
indicateur de sa « dynamique ».

**********

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EXERCICE N°2
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du prix unitaire (en dollar) d’un litre d’essence sans plomb dans
un pays donné entre 1997 et 2001.
Années

1997

1998

1999

2000

2001

P

0,75

0,9

0,45

0,72

0,54

1°) Calculer la variation en pourcentage entre 1997 et 1998, 1998 et 1999, 1999 et 2000, 2000 et 2001.
2°) Calculer la variation en pourcentage entre 1997 et 2001.
3°) Quel enseignement peut-il être tiré de la mise en parallèle des résultats ci-dessus ?

1°)
a) Soit P le prix unitaire du litre d’essence. La variation en pourcentage ou variation relative entre
1997 et 1998 s’obtient de la manière suivante :
=

⇔

=

,

⇔

=

,

⇔

= 0,2 = +20%

,

,

,

Le prix unitaire du litre d’essence a donc augmenté de 20% entre 1997 et 1998.
b) En adoptant la même méthode pour les périodes 1998-1999, 1999-2000 et 2000-2001, on
obtient le tableau ci-dessous :
Années

1997

1998

1999

2000

2001

∆P (%)
P

-

+ 20

- 100

+ 60

- 25

Le prix unitaire du litre d’essence augmente de 20% entre 1997 et 1998, baisse de 100% entre 1998 et
1999, augmente à nouveau de 60% entre 1999 et 2000 et baisse de 25% entre 2000 et 2001.

2°)

a) Entre 1997 et 2001, la variation en pourcentage du prix litre d’essence est égale à :
∆P = P2001 − P1997
P
P1997

⇔

∆P = 0,54 − 0,75
P
0,75

⇔

∆P = − 0,21
P
0,75

⇔

∆P = − 0,28 = − 28%
P
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b) Si, sur la période allant de 1997 à 2001, le prix unitaire du litre d’essence a connu des phases de
hausse et de baisse, il apparaît que la tendance générale sur l’ensemble de la période est à la baisse : le prix
unitaire du litre d’essence a effectivement baissé de 28% entre le début de la période (1997) et la fin de la
période (2001).
–28% correspond donc à la variation en pourcentage globale du prix unitaire du litre d’essence sur
l’ensemble de la période considérée.

3°) En rapprochant les variations en pourcentage sur les quatre périodes intermédiaires et la variation en
pourcentage globale, on constate que cette dernière n’est pas égale à la somme des premières.
En effet, la variation en pourcentage globale d’une grandeur en aucun cas ne se déduit de la somme des
variations en pourcentage sur les périodes intermédiaires. On a :
20% − 100 % + 60% − 25% = − 45%

et

− 45% ≠ − 28%

**********

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EXERCICE N°3
Le tableau ci-dessous retrace l’évolution des importations d’une petite économie insulaire entre 1998 et
2002 (en millions de dollars courants) :
Années

1998

1999

2000

2001

2002

Importations
(millions de dollars courants)

2 340,9

2 418,9

2 730,1

2 864,3

2 966,2

1°) Calculer le coefficient multiplicateur des importations sur les périodes 1998-1999, 1999-2000, 20002001 et 2001-2002.
2°) Calculer le coefficient multiplicateur des importations entre 1998 et 2002.
3°) Quel enseignement peut-il être tiré de la mise en parallèle des résultats ci-dessus ?

1°)
a) Soit M les importations de notre petite économie insulaire. Le coefficient multiplicateur des
importations sur la période 1998-1999 s’obtient en faisant le rapport entre les importations réalisées en
1999 et celles effectuées en 1998.
Ainsi, le coefficient multiplicateur des importations entre 1998 et 1999 est le nombre par lequel il faut
multiplier le niveau des importations de 1998 afin d’obtenir celui de 1999. On a donc :
,

=

,

= 1,03

⇔

Le coefficient multiplicateur est strictement supérieur à 1 puisque, sur la période considérée, les
importations de l’année finale (1999) sont supérieures à celles de l’année initiale (1998).
b) En adoptant la même méthode, on obtient le tableau récapitulatif ci-dessous.
Année

1998

P1
P0

-

1999

2000

2001

2002

1,033

1,128

1,049

1,035

Ainsi, les importations de notre petite économie insulaire ont été multipliées par 1,128 entre 1999 et 2000,
par 1,049 entre 2000 et 2001, par 1,035 entre 2001 et 2002.

2°) Le coefficient multiplicateur des importations entre 1998 et 2002 est égal à :
=

,

,

⇔

= 1,267

3°) On constate que le produit des coefficients multiplicateurs sur les quatre périodes intermédiaires est
égal au coefficient multiplicateur des importations entre le début de la période (1998) et la fin de la
période (2002) qui est le coefficient multiplicateur global. En effet :
1,033 × 1,128 × 1,049 × 1,035 = 1,265 et 1,265 ≈ 1,267
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ECERCICE N°4
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre de touristes d’une petite économie insulaire entre
1998 et 2002 :
Année

1998

1999

2000

2001

2002

Nombre de touristes

37 993

40 424

36 988

37 290

30 600

1°) Calculer le coefficient multiplicateur du nombre de touristes sur les périodes 1998-1999, 1999-2000,
2000-2001 et 2001-2002.
2°) Calculer le coefficient multiplicateur du nombre de touristes entre 1998 et 2002.
3°) Quel lien existe-t-il entre les résultats des questions 1 et 2 ?

1°)
a) Soit T le nombre de touristes de notre petite économie insulaire. Le coefficient multiplicateur des
touristes entre 1998 et 1999 s’obtient en faisant le rapport entre le nombre de touristes en 1999 et le
nombre de touristes en 1998. On a :
# $%%%
# $%%&

'(')'

= *+%%*

⇔

# $%%%
# $%%&

= $, (,*

Ainsi, le nombre de touristes a été multiplié par 1,063 entre 1998 et 1999. Le coefficient multiplicateur,
que l’on désigne désormais par CM, est strictement supérieur à 1 sur la période 1998-1999 puisque le
nombre de touristes de l’année 1999 excède celui de l’année 1998.
b) En adoptant la même démarche pour les trois autres périodes intermédiaires, on obtient le
tableau récapitulatif ci-dessous :
Année

1998

1999

2000

2001

2002

CM

-

1,063

0,915

1,008

0,820

Le nombre de touristes a été multiplié par 0,915 entre 1999 et 2000. Le coefficient multiplicateur est
strictement inférieur à 1 sur la période puisque le nombre de touristes en 2000 (36 988) est inférieur au
nombre de touristes en 1999 (40 424).
Sur la période 2000-2001, le nombre de touristes a été multiplié par 1,008.
Enfin, entre 2001 et 2002, la baisse de la fréquentation touristique de notre petite économie insulaire (30
600 en 2002 contre 37 290 en 2001) se traduit par un coefficient multiplicateur strictement inférieur à 1
(0,820).

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2°) Entre 1998 et 2002, le coefficient multiplicateur du nombre de touristes est égal à :
# )(()
# $%%&

=

*(,((
*+%%*

⇔

# )(()
# $%%&

= (, &(-

Le coefficient multiplicateur du nombre de touristes entre l’année initiale (1998) et l’année finale (2002) de
l’ensemble de la période ou coefficient multiplicateur global est strictement inférieur à 1. Ceci traduit une
tendance générale à la baisse du nombre de touristes dans notre petite économie insulaire entre 1998 et
2002 : le nombre de touristes en 2002 est bien inférieur au nombre de touristes entre 1998 (30 600 contre
37 993 respectivement).

3°) Le coefficient multiplicateur global, qui est le coefficient qui permet de passer du nombre de touristes
de l’année 1998 au nombre de touristes de l’année 2002, est égal au produit des coefficients
multiplicateurs des périodes intermédiaires. En effet :
1,063 × 0,915 × 1,008 × 0,820 = 0,803 ( 0,803 ≈ 0,805 )

**********

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EXERCICE N°5
Le tableau ci-dessous donne l’évolution des exportations d’une économie entre 1993 et 1996 (en millions
de dollars courants) :
Années

1993

1994

1995

1996

Exportations
(millions de dollars courants)

15 821

16 533

18 267

21 000

1°) Calculer l’indice des exportations pour chaque année, en prenant comme base 100 l’année 1993.
2°) Calculer l’indice des exportations pour chaque année, en prenant maintenant comme base 100
l’année 1994.
3°) Le changement de base affecte-t-il l’analyse de l’évolution des exportations de notre économie ?

1°)
a) Soit X les exportations de notre économie. L’indice des exportations de l’année 1994 en prenant
comme base 100 l’année 1993 s’obtient de la manière suivante :
Ind X (1994) = X 1994 × 100
X 1993

100 =1993

⇔
⇔
⇔

Ind X (1994) = 16533 × 100
15821

100 =1993

Ind X (1994) = 1,04 × 100

100=1993

Ind X (1994) = 104

100=1993

b) On adopte la même méthode pour calculer l’indice des exportations de la zone franche de
Maurice pour les années 1995 et 1996. On obtient le tableau ci-dessous :
Années

1993

1994

1995

1996

Ind X (t)

100

104

115

132

100=1993

2°)
a) L’année 1994 devient donc l’année de base. L’indice des exportations de l’année 1993 en prenant
comme base 100 l’année 1994 se calcule de la manière suivante :
Ind X (1993) = X 1993 × 100 ⇔
X 1994

100 =1994

⇔
⇔

Ind X (1993) = 15821 × 100
16533

100=1994

Ind X (1993) = 0,95 × 100

100=1994

Ind X (1993) = 95

100=1994

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b) En adoptant la même méthode pour le calcul des indices des années 1995 et 1996, on obtient le
tableau ci-dessous :
Années

1993

1994

1995

1996

Ind X(t)

95

100

110

127

100 =1994

3°) Le changement de base n’affecte en aucun cas l’analyse de l’évolution des exportations de notre
économie. En effet, la tendance à la hausse de l’indice est conservée dans les deux cas.

**********

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EXERCICE N°6
Le tableau ci-dessous donne la variation en pourcentage de l’argent de poche annuel qu’un étudiant
reçoit des membres de sa famille entre 2000 et 2002.
Années

2000

2001

2002

Variation en % de l’argent
de poche

+18

-12

+24

1°) Sachant qu’il a reçu 1 400 euros en 1999, calculer la somme reçue en 2000, 2001 et 2002.
2°) Déduire la variation en pourcentage sur l’ensemble de la période considérée. Que remarquez-vous ?

1°)
a) Soit R l’argent de poche que l’étudiant reçoit. L’argent de poche reçu en 2000 a augmenté de
18% par rapport à l’argent de poche reçu en 1999. On peut donc écrire :

R2000 = R1999 + 18%.R1999

⇔

R2000 = 1400 + (0,18 × 1400)

⇔

R2000 = 1400 + 252

⇔

R2000 = 1652 €

Ainsi, comme son argent de poche augmente de 18% entre 1999 et 2000, notre étudiant se trouve en
possession d’une somme de 1652 euros en 2000.

b) L’argent de poche reçu en 2001 a diminué de 12% par rapport à l’année 2000. On peut donc
écrire :

R2001 = R2000 − 12%.R2000

⇔

R2001 = 1652 − (12% × 1652)

⇔

R2001 = 1652 − 198,24

⇔

R2001 = 1453,76 ≈ 1454 €

c) L’argent de poche reçu en 2002 a augmenté de 24% par rapport à l’année 2001. On a donc :

R2002 = R2001 + 24%.R2001

⇔

R2002 = 1453,76 + (24% × 1453,76)

⇔

R2002 = 1453,76 + 348,9024

⇔

R2002 = 1802,6624 ≈ 1803 €

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d) L’évolution de la somme perçue par notre étudiant au titre de l’argent de poche est retracée
dans le tableau ci-dessous.
Années

1999

2000

2001

2002

R (en euros)

1 400

1 652

1 454

1 803

2°)
a) Ainsi, l’argent de poche de notre étudiant est passé de 1 400 euros en 1999 à 1 803 euros à 2002.
On déduit alors la variation en pourcentage sur l’ensemble de la période. On a :
∆R = R2002 − R1999
R
R1999

⇔

∆R = 1803 − 1400
R
1400

⇔

∆R = 403
R 1400

⇔

∆R = 0,287 = + 28,7%
R

b) On peut noter que la variation en pourcentage globale de l’argent de poche que reçoit notre
étudiant n’est pas égale à la somme des variations en pourcentage sur les périodes intermédiaires 19992000, 2000-2001 et 2001-2002. En effet :
+18% − 12% + 24% = +30% et 30% ≠ 28,7%

Ainsi, la variation globale d’une grandeur sur plusieurs années n’est pas égale à somme des variations en
pourcentage entre deux années successives.

**********

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EXERCICE N°7
Le tableau ci-dessous donne le coefficient multiplicateur du nombre d’abonnés à une chaîne de
télévision entre 1997 et 2000.
Années

1997

1998

1999

2000

Coefficient multiplicateur
du nombre d’abonnés

0,80

1,4

1,2

0,9

1°) Sachant qu’il y a 940 000 abonnés en 1996, calculer le nombre d’abonnés pour les années suivantes.
2°) Déduire le coefficient multiplicateur global. Est-il possible de le calculer d’une autre façon ?

1°)
a) Soit A le nombre d’abonnés à la chaîne de télévision. Entre 1996 et 1997, il a été multiplié par
0,80. On a donc :
.
.

/

= 0,80 ⇔

1

= 0,80 × 1

⇔

1

= 0,80 × 940 000

⇔

1

= 752 000

Le nombre d’abonnés en 1997 est moins élevé que celui de 1996. Cette baisse du nombre d’abonnés est
conforme au fait que le coefficient multiplicateur sur la période 1996-1997 est inférieur à 1.

b) Entre 1997 et 1998, le nombre d’abonnés a été multiplié par 1,4. On peut donc écrire :
.
.

= 1,4

⇔

1

= 1,4 × 1

⇔

1

= 1,4 × 752 000

⇔

1

= 1 052 800

c) Entre 1998 et 1999, le nombre d’abonnés a été multiplié par 1,2. On peut donc écrire :

A1999
=1,2
A1998

⇔

1

= 1,2 × 1

⇔

A1999 =1,2 ×1 052 800

⇔

1

= 1 263 360

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d) Entre 1999 et 2000, le nombre d’abonnés a été multiplié par 0,9. On a :
.
.

= 0,9

⇔

1

= 0,9 × 1 263 360

⇔

1

= 1 137 024

e) Le tableau ci-dessous récapitule les informations sur le nombre d’abonnés et les coefficients
multiplicateurs.
Années

1996

1997

1998

1999

2000

CM

-

0,80

1,4

1,2

0,9

Nombre d’abonnés

940 000

752 000

1 052 800 1 263 360 1 137 024

2°)
a) Le coefficient multiplicateur global, qui est le coefficient multiplicateur sur l’ensemble de la
période, s’obtient en rapportant le nombre d’abonnés de l’année finale de la période (2000) au nombre
d’abonnés de l’année initiale de la période (1996). On a :

A2000 =1 137 024
A1996 940 000

⇔

A2000
=1,2096
A1996

b) Le coefficient multiplicateur global s’obtient aussi en faisant le produit des coefficients
multiplicateurs sur les périodes intermédiaires. En effet :
0,8 ×1,4 ×1,2 × 0,9 = 1,2096

**********

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EXERCICE N°8
Le tableau ci-dessous présente l’indice du chiffre d’affaires (en dollars courants) d’un marchand de
pistaches occasionnel entre 1996 et 2000 (base 100 l’année 1996).
Années

1996

1997

1998

1999

2000

Indices du Chiffre d’affaires
(base 100 = 1997)

100

120

92

142

175

1°) Sachant que le chiffre d’affaires est égal à 3 500 dollars en 1996, calculer le chiffre d’affaires réalisé
par notre marchand de pistaches pour les années suivantes.
2°) Calculer l’indice du chiffre d’affaires en prenant comme base 100 l’année 1998.
3°) Calculer, à partir des indices, le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaires entre 1996 et 1997 dans
le cas où 1996 est l’année de base, puis dans celui où 1998 est l’année de base. Que constatez-vous ?

1°)

a) Pour calculer le chiffre d’affaires (CA) réalisé en 1997, partons de l’indice de l’année 1997. On a :

Ind CA (1997) =120
100=1996

⇔

CA1997 ×100 = 120
CA1996

⇔

CA1997 = 120
CA1996 100

⇔

CA1997 =1,2 × CA1996

⇔

CA1997 =1,2 × 3 500

⇔

CA1997 = 4 200

b) Pour l’année 1998, le chiffre d’affaires s’obtient de la manière suivante :

Ind CA (1998) = 92

100=1996

⇔

CA1998 ×100 = 92
CA1996

⇔

CA1998 = 92
CA1996 100

⇔

CA1998 = 0,92 × CA1996

⇔

CA1998 = 0,92 × 3 500

⇔

CA1998 =3 220

Page 19 sur 44

c) La même démarche est adoptée afin de calculer le chiffre d’affaires pour les années 1999 et
2000. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
Années

1996

1997

1998

1999

2000

Ind CA (1997)

100

120

92

142

175

CA (en euros)

3 500

4 200

3 220

4 970

6 125

100=1996

2°)
a) L’année 1998 étant maintenant l’année de base, le chiffre d’affaires est donc fixé au niveau 100
pour cette année. Il est toujours égal à 3 220 euros. Le calcul de l’indice du chiffre d’affaires de l’année
1996, en prenant comme base 100 l’année 1998, s’obtient de la manière suivante :
Ind CA (1996) = CA1996 ×100
CA1998

100 =1998

⇔
⇔

Ind CA (1996) =

100=1998

3 500
×100
3 220

Ind CA (1996) = 108,6

100 =1998

b) En adoptant la même démarche, on obtient les indices du chiffre d’affaires pour les années 1997,
1999 et 2000. Les résultats sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.
Années

1996

1997

1998

1999

2000

CA (en euros)

3 500

4 200

3 220

4 970

6 125

Ind CA

108,6

130,4

100

154,3

190,2

100=1998

3°) Calculons le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaires entre 1996 et 1997 à partir des indices du
chiffre d’affaires pour ces deux années.
Cas où 1996 est l’année de base

CA1997
CA1996

CA1997 ×100
= CA1996
CA1996 ×100
CA1996

⇔

CA(1997)
CA1997 = 100Ind
=1996
CA(1996)
CA1996 100Ind
=1996

⇔

CA1997 = 120 = 1,2
CA1996 100

Le chiffre d’affaires a donc été multiplié par 1,2 entre 1996 et 1997. Malgré le changement de base pour le
calcul de l’indice, on doit retrouver ce même coefficient multiplicateur sur la même période.
Cas où 1998 est l’année de base

CA1997
CA1996

CA1997 ×100
= CA1998
CA1996 ×100
CA1998

⇔

CA (1997)
CA1997 = 100Ind
=1998
CA (1996)
CA1996 100Ind
=1998
Page 20 sur 44

⇔

CA (1997)
CA1997 = 100Ind
=1998
CA (1996)
CA1996 100Ind
=1998

⇔

CA1997 = 130,4
CA1996 108,6

⇔

CA1997 = 1,2
CA1996

Ainsi, on constate qu’un changement de base dans le calcul de l’indice du chiffre d’affaires ne change pas la
valeur du multiplicateur sur une période donnée.

**********

Page 21 sur 44

EXERCICE N°9
Le tableau ci-dessous donne l’évolution des ventes de voitures dans un pays donné entre 2001 et 2005
(En millions)
Année

2001

2002

2003*

2004*

2005*

Ventes (millions)

2,16

2,94

3,14

3,60

4,09

1°) Ecrire la formule de l’indice des ventes entre les dates t0 et t1
2°) Calculer l’indice des ventes en prenant comme base 100 l’année 2003.

1°) Soit V les ventes de voitures. L’indice des ventes à l’instant t1 en prenant comme base 100 l’instant t0 ,
s’écrit :
Ind V(t1) = V1 ×100
V0
100 = t
0

2°)
a) Si l’année 2003 est l’année de base, cela signifie que l’indice des ventes est au niveau 100. Ainsi, il
a pour expression :
Ind V(t ) = Vt ×100
V2003
100 = 2003

avec t = 2001, 2002 , 2004 , 2005
b) En faisant l’application pour l’année 2001 par exemple, l’indice auquel se trouve le niveau des
ventes de voitures en Chine s’obtient alors de la manière suivante :
Ind V(2001) = V2001 ×100
V2003
100 = 2003

2,16
×100
3,14

⇔

Ind V (2001) =

⇔

Ind V (2001) = 0,68 ×100

⇔

Ind V (2001) = 68

100 = 2003

100= 2003

100= 2003

En adoptant la même méthode, nous obtenons le tableau d’indices ci-dessous.
Année

2001

2002

2003

2004

2005

Ventes (millions)

2,16

2,94

3,14

3,60

4,09

Ind V(t)
100=2003

68

93

100

114

130

**********
Page 22 sur 44

EXERCICE N°10
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du nombre d’agences d’une banque espagnole entre 1999 et
2002 :
Année

1999

2000

2001

2002

Nombre d’agences

4075

4301

4524

4630

1°) Calculer la variation en pourcentage d’une année sur l’autre.
2°) Calculer la variation en pourcentage entre 1999 et 2002. Que constatez-vous ?
3°) Comment établir de manière simple le lien entre les variations en pourcentage entre deux années
successives et la variation en pourcentage globale ?

1°)
a) Soit AG le nombre d’agences. La variation en pourcentage ou variation relative du nombre
d’agences entre deux dates t0 et t1 s’écrit :

∆AG = AG1 − AG0
AG
AG0

b) La variation en pourcentage entre 1999 et 2000 s’obtient alors de la manière suivante :

∆AG = AG2000 − AG1999
AG
AG1999

⇔

∆AG = 4301− 4075
AG
4075

⇔

∆AG = 226
AG
4075

⇔

∆AG = 0,055
AG

⇔

∆AG = 5,5%
AG

c) En adoptant la même méthode, nous adoptons le tableau de variations relatives ci-dessous.
Années

1999

2000

2001

2002

AG (Unités)

4 075

4 301

4 524

4 630

∆AG (%)
AG

-

5,5

5,1

2,3

Page 23 sur 44

2°)
a) La variation en pourcentage entre 1999 et 2002 représente la variation en pourcentage globale.
On a :

∆AG = AG2002 − AG1999
AG
AG1999

⇔

∆AG = 4630− 4075
AG
4075

⇔

∆AG = 555
AG
4075

⇔

∆AG = 0,136
AG

⇔

∆AG = +13,6%
AG

b) On constate que la variation en pourcentage globale n’est pas égale à la somme des variations en
pourcentage sur les périodes intermédiaires 1999-2000, 2000-2001 et 2001-2002. En effet :
5,5% + 5,1% + 2,3% = 12,9% et 12,9% ≠ 13,6%

3°)
a) Le lien entre les variations en pourcentage sur les périodes intermédiaires et la variation en
pourcentage globale n’est pas direct. En effet, le lien est indirect en ce sens qu’il fait appel aux coefficients
multiplicateurs.
Ainsi, le produit des coefficients multiplicateurs obtenus sur les périodes intermédiaires est égal au
coefficient multiplicateur sur la période globale constituée de la première année et de la dernière année.
b) Le coefficient multiplicateur du nombre d’agences entre deux dates t0 et t1 a pour expression :

CM = AG1
AG0
On peut noter que ce coefficient multiplicateur apparaît dans la formule de la variation en pourcentage (ou
variation relative). En effet :

∆AG = AG1 − AG0
AG
AG0

⇔

∆AG = AG1 − AG0
AG
AG0 AG0

⇔

∆AG = CM − 1
AG

D’après cette formule, la variation relative s’obtient aussi en ôtant l’unité à la valeur du coefficient
multiplicateur.
c) Sur la période 1999-2000, le coefficient multiplicateur du nombre d’agences est égal à :

CM = AG2000
AG1999

⇔

CM = 4301
4075

⇔

CM = 1,055

Page 24 sur 44

Ainsi, le nombre d’agences de La Caixa a été multiplié par 1,055 entre 1999 et 2000. En adoptant la même
méthode, on obtient le tableau des coefficients multiplicateurs ci-dessous.
Années

1999

2000

2001

2002

AG (Unités)

4075

4301

4524

4630

∆AG (%)
AG

-

5,5

5,1

2,3

CM

-

1,055

1,051

1,023

CM (1999-2000)

-

-

-

1,136

En faisant le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires, on obtient :
1,055 ×1,051× 1,023 = 1,134 ≈ 1,136

Le fait que le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires ne soit pas égal au coefficient
multiplicateur global se justifie par les arrondis effectués afin de ne pas alourdir les calculs.

d) On déduit aisément la variation en pourcentage globale du nombre d’agences en 1999 et 2002.
On a :

∆AG = 1,134−1
AG

⇔

∆AG = 0,134
AG

⇔

∆AG = + 13,4% ≈ + 13,6%
AG

**********

Page 25 sur 44

EXERCICE N°11
Dans un article consacré à la société Air France (Challenges n°208, 25 Septembre 2003, p.14), on peut
lire : « même s’il reste loin de son plus haut [cours], à 27 euros début 2001, le titre Air France a gagné
60% depuis le premier janvier, à 14,67 euros (le 22 septembre) ».
1°) Quel est le cours du titre Air France au premier janvier 2003 ?
2°) Quelle est la variation en pourcentage entre début 2001 et début 2003 ?
3°) Quelle est la variation en pourcentage globale entre début 2001 et septembre 2003 ?

1°) Soit CAF le cours du titre de la société Air France. Le cours ayant augmenté de 60% entre le premier
janvier 2003 et le 22 septembre 2003, on peut écrire la relation suivante :
56789:;)((* = 567<=>)((* + ?,(%. 567<=>)((* A
⇔

56789:;)((* = B$ + ,(%C. 567<=>)((*

⇔

567<=>)((* =

56789:;)((*

⇔

567<=>)((* =

$',,+

⇔

567<=>)((* = %, $,

$,,

$,,

Ainsi, au premier janvier 2003, l’action Air France est cotée à 9,16 euros.

2°) La variation en pourcentage ou variation relative de l’action Air France entre début 2001 et début 2003
s’obtient de la manière suivante :

∆CAF = CAF2003 − CAF2001
CAF
CAF2001

⇔

∆CAF = 9,16 − 27
CAF
27

⇔

∆CAF = −17,84
CAF
27

⇔

∆CAF = −0,66
CAF

⇔

∆CAF = −66%
CAF

Le cours de l’action Air France a donc baissé de 66% entre début 2001 et début 2003.

3°)
a) Avant de calculer la variation en pourcentage globale entre début 2001 et début 2003, dressons
le tableau récapitulatif des informations dont nous disposons : d’une part des informations sur le cours du
Page 26 sur 44

titre Air France, d’autre part des informations sur les variations en pourcentage sur les périodes
intermédiaires début 2001-début 2003 et début 2003-septembre 2003, d’où le tableau ci-dessous :

Année

Début 2001

Début 2003

Septembre 2003

CAF (euros)

27

9,16

14,67

∆CAF (%)
CAF

-

- 66

+ 60

b) Pour calculer la variation en pourcentage globale, deux méthodes sont possibles qui aboutissent,
bien sûr, au même résultat :
-

La méthode directe, par laquelle on considère comme dates initiale et finale de la période début
2001 et Septembre 2003.

-

La méthode indirecte, qui consiste d’abord à établir le lien entre les coefficients multiplicateurs
des deux périodes intermédiaires début 2001-début 2003 et début 2003-septembre 2003 et le
coefficient multiplicateur de la période début 2001-Septembre 2003 appelé coefficient
multiplicateur global, puis à retrancher l’unité pour trouver la variation en pourcentage globale.

La méthode directe
La variation relative globale s’obtient directement de la manière suivante :

∆CAF = CAFsept2003 − CAF2001
CAF
CAF2001

⇔

∆CAF = 14,67−27
CAF
27

⇔

∆CAF = −12,33
CAF
27

⇔

∆CAF = − 0,456
CAF

⇔

∆CAF = − 45,6%
CAF

Ainsi, entre début 2001 et septembre 2003, le cours de l’action Air France a baissé de 45,6%.
La méthode indirecte
a) La méthode indirecte, qui est donc celle fondée sur l’utilisation des coefficients multiplicateurs,
permet d’éviter de commettre l’erreur fondamentale par laquelle on pense trouver la variation relative
globale en additionnant les variations relatives sur les périodes intermédiaires.
On constate aisément que la somme des variations relatives sur les périodes intermédiaires n’est pas égale
à la variation relative globale. En effet :
−66% + 60% = −6% , −6% ≠ −45 ,6%

Page 27 sur 44

b) En revanche, le produit des coefficients multiplicateurs intermédiaires est bien égal au coefficient
multiplicateur global.
Le coefficient multiplicateur se déduit de la variation relative en la majorant d’une unité. Par exemple, le
coefficient multiplicateur du cours de l’action Air France entre début 2001 et début 2003 s’obtient de la
manière suivante :
CM = − 66 % + 1

⇔

CM = − 0,66 + 1

⇔

CM = 0,34

On enrichit le tableau précédent d’une ligne portant sur les coefficients multiplicateurs.
Année

Début 2001

Début 2003

Septembre 2003

CAF (euros)

27

9,16

14,67

∆CAF (%)
CAF

-

- 66

+ 60

CM

-

0,34

1,6

c) Le coefficient multiplicateur global est donc égal à :
CM = 0,34 × 1,6 = 0,544

d) La variation relative globale se déduit du coefficient multiplicateur global en lui ôtant l’unité. On
a:

∆CAF = 0,544 − 1
CAF

⇔

∆CAF = − 0,456 = − 45,6%
CAF

C’est bien le résultat trouvé par la méthode directe.
Ainsi, alors que le cours de l’action Air France a baissé de 66% entre début 2001 et début 2003, puis
augmenté de 60% entre début 2003 et Septembre 2003, sa variation globale entre début 2001 et
septembre 2003 correspond à une baisse de 45,6%.

**********

Page 28 sur 44

Partie 2
Relations entre variation relative, coefficient multiplicateur et indice

Page 29 sur 44

EXERCICE N°12
Le tableau ci-dessous donne l’évolution de l’indice du prix d’un livre d’économie (en dollar) entre 1997 et
1998 (base 100 l’année 1996).

Ind P
(100=1996)

1997

1998

110

141

Calculer la variation relative du prix du livre d’économie entre 1997 et 1998.
a) Soit P le prix du livre d’économie. La variation relative du prix entre 1997 et 1998 a pour
expression :
DE E − E
=
E
E

=

E
−1
E

P98/P97 représente le coefficient multiplicateur du prix entre 1997 et 1998. Sa valeur se déduit du tableau
d’indices du prix. Sa connaissance permettra de déduire la variation relative du prix entre 1997 et 1998.
b) Le tableau d’indices du prix du livre en 1997 et 1998, en prenant comme base 100 l’année 1996,
nous permet d’écrire :
GHIE 1997 110
E
E
J
GHIE 1997 =
× 100
⇔
=
=
= 1,1
J
100
E
E
100
GHIE 1998

=

J

E
× 100
E

E
E

⇔

=

GHI E1998
J

100

=

141
= 1,4
100

Nous avons ci-dessus les coefficients multiplicateurs du prix entre 1996 et 1997 et entre 1996 et 1998
respectivement.
c) Nous pouvons déduire le coefficient multiplicateur du prix entre 1997 et 1998. On a :
E
E

E
E
=
E
E

=

1,41
1,1

=

1,28

Ainsi, le prix du livre d’économie a été multiplié par 1,28 entre 1997 et 1998.
d) Nous déduisons maintenant la variation en pourcentage du livre entre 1997 et 1998. On a :
DE E
=
E

E

−E

=

E
E

− 1 = 1,28 − 1 = 0,28 = +28%

Le prix du livre d’économie a donc augmenté de 28% entre 1997 et 1998.
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EXERCICE N°13
On s’intéresse à l’évolution du prix (en dollars) d’un ordinateur entre 1996 et 1997. Le coefficient
multiplicateur du prix entre ces deux dates est de 0,78.
1°) Trouver la variation relative du prix de l’ordinateur.
2°) Trouver l’indice du prix de l’année 1997 (1996=100).

1°)
a) Soit P le prix de l’ordinateur. La variation relative ou variation en pourcentage du prix de
l’ordinateur entre 1996 et 1997 s’écrit :
DE E
=
E

E

−

E

=

E
E

−1

b) P97/P96 représente le coefficient multiplicateur du prix de l’ordinateur entre 1996 et 1997. Sa
valeur est connue. Elle est égale à 0,78.
Nous déduisons alors la variation relative du prix de l’ordinateur. On a :
DE
= 0,78 − 1 = −0,22 = −22%
E
Ainsi, le, prix de l’ordinateur a baissé de 22% entre 1996 et 1997.

2°) L’indice du prix de l’année 1997, en prenant comme base 100 l’année 1996 a pour expression :
Ind P 1997 = P1997 × 100 = 0,78 × 100 = 78
P1996
100 =1996

Situé au niveau 100 en 1996, le prix de l’ordinateur se situe au niveau 78 en 1997. L’indice du prix a chuté
entre 1996 et 1997 puisque le prix de l’ordinateur a été multiplié par un nombre strictement inférieur à 1, à
savoir 0,78, entre ces deux dates, d’où le tableau récapitulatif ci-dessous :

Ind P
(100 = 1996)

1996

1997

100

78

************

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EXERCICE N°14
La société Sport Universal est spécialisée dans les banques de données statistiques destinées aux
sportifs. Dans un article du Nouvel Economiste (n°1209, 8 au 21 novembre 2002, p.88), son PDG affirme :
« notre chiffre d’affaires devrait avoir progressé de 2 000 % entre 1999 et 2002. ».
Par quel coefficient le chiffre d’affaires de cette société a-t-il été multiplié entre 1999 et 2002 ?

a) Soit CA le chiffre d’affaires. Le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaires entre 1999 et 2002 a pour
expression :

LM =

L1
L1

b) La variation relative ou variation en pourcentage attendue du chiffre d’affaires entre 1999 et
2002 s’écrit :
DL1 L1
=
L1

−
L1

L1

=

L1
L1

−1

Nous déduisons le coefficient multiplicateur en fonction de la variation en pourcentage. On a :
L1
L1

=

DL1
+1
L1

c) Nous connaissons la variation en pourcentage du chiffre d’affaires entre 1999 et 2002. Elle vaut
2000%, d’où la valeur du coefficient multiplicateur entre ces deux dates :
L1
L1

= 2000% +

1 = 20 + 1 = 21

Le chiffre d’affaires de Sport Universal a donc été multiplié par 21 entre 1999 et 2002.

**********

Page 32 sur 44

EXERCICE N°15
Dans un article du Figaro économie (n°18122, 13 novembre 2002, p.6), on peut lire que le chiffre
d’affaires de Toyota a augmenté de 15,4% entre le premier semestre de l’exercice 2001-2002 et le
premier semestre de l’exercice 2002-2003.
Calculer l’indice du chiffre d’affaires de Toyota pour le premier semestre de l’exercice 2002-2003.

a) Il s’agit de calculer l’indice du chiffre d’affaires CA pour le premier semestre de l’exercice 2002-2003, en
prenant comme base 100 le premier semestre de l’exercice 2001-2002. Cet indice a pour expression :

GHI L1
J

2002 − 2003

=

L1
L1

× 100

b) CA2002-2003/CA2001-2002 représente le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaires entre les deux
périodes. Il se déduit de la variation relative ou variation en pourcentage du chiffre d’affaires sur la même
période. En effet :
∆L1 L1
=
L1

L1

− L1

=

L1
L1

−1

Nous déduisons que :
L1
L1

=1+

∆L1
= 1 + 15,4% = 1,154
L1

c) Ainsi, l’indice du chiffre d’affaires de Toyota au premier semestre de l’année 2002-2003, en
prenant comme base 100 le premier semestre de l’année 2001-2002, vaut :
GHI L1 2002 − 2003 = 1,154 × 100 = 115,4

D’où le tableau récapitulatif des indices :

Ind CA
(100 = 2001-2002

Premier semestre
2001-2002

Premier semestre
2002-2003

100

115,4

**********

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EXERCCICE N°16

Soit une variable notée G . On s’intéresse à son évolution entre deux dates notées t 0 et t1 .
1°) Déterminer la relation qui permet de passer de la variation relative à l’indice de la variable G à
l’instant t1 .
2°) Faire l’application à partir des données sur le PIB par habitant des Etats-Unis (Source : OCDE).

PIB/hab des Etats-Unis (en dollar)

1°)

1988

1998

19 912

514

a) La variation relative de la variable G, entre t0 et t1, a pour expression :
DO P$ − P( P$
=
=
−$
P
P(
P(

G1/G0 représente le coefficient multiplicateur de la variable G entre t0 et t1. Ce multiplicateur entre dans la
composition de l’indice.
On peut dès maintenant exprimer le coefficient multiplicateur en fonction de la variation relative. On a :
DO
O
=
+1
O
O
b) L’indice de la variable G à l’instant t1, en prenant comme base 100 l’instant t0, s’écrit :
GHI O R =
JQ

O
× 100
O

Le coefficient multiplicateur est remplacé afin de faire apparaître la variation relative. On a :

(

)

Ind G t1 = ∆G + 1 × 100
G
100 = t
0

C’est cette formule qui permet de passer de la variation relative à l’indice.

2°) Soit PIBH le produit intérieur brut par habitant des Etats-Unis. Pour trouver l’indice de PIBH pour
l’année 1998, en prenant comme base 100 l’année 1988, il faut connaître la variation relative de PIBH entre
1988 et 1998. On a :
DEGST EGST
− EGST
=
EGST
EGST

=

30514 − 19912
= 0,532 = + 53,2%
19912

Nous déduisons maintenant la valeur de l’indice pour l’année 1998. On a :

Ind PIBH 1998 = (1+53,2%) × 100 = (1+0,532) × 100 = 1,532 × 100 = 153,2
100 =1988

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Le tableau récapitulatif des indices du PIB par habitant des Etats-Unis se présente alors comme suit :

Indice du PIB/hab des Etats-Unis

1988

1998

100

153,2

**********

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EXERCICE N°17
On suppose que l’indice du prix d’une disquette informatique (en dollar) est égal à 89 en 1998 (en
prenant comme base 100 l’année 1997).
Déduire la variation relative du prix entre 1997 et 1998.

a) Soit P le prix (en dollar) de la disquette informatique. La variation relative ou variation en pourcentage a
pour expression :

DE E − E
=
E
E

=

E
−1
E

Ainsi, il suffit de connaître le coefficient multiplicateur du prix entre 1997 et 1998 pour déduire la variation
relative entre les deux dates.

b) L’indice du prix de la disquette informatique pour l’année 1998, en prenant comme base 100
l’année 1997, s’écrit :
GHI E 1998 =
J

E
E

× 100

GHI E 1998 = 89
J

⇒

⇔

E
E

E
E

=

=

GHI E 1998
J

100

89
= 0,89
100

c) On est maintenant en mesure de déduire le pourcentage de variation du prix de la disquette
informatique entre 1997 et 1998. On a :
DE
= 0,89 − 1 = −0,11 = −11%
E
Ainsi, le prix de la disquette informatique a baissé de 11% entre 1997 et 1998.

**********

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EXERCICE N°18
Entre septembre et octobre de l’année 1997, le prix d’un produit est passé de 70 $ à 87,5 $. En novembre
de la même année, le produit vaut 98 $.
1°) Quelle est la variation en pourcentage du prix du produit entre septembre et octobre, puis entre
octobre et novembre ?
2°) Déduire la variation en pourcentage entre septembre et novembre.
3°) En prenant comme base 100 le mois de septembre, calculer l’indice du prix du produit pour les mois
d’octobre et novembre.

1°)
a) La variation en pourcentage du prix du produit entre septembre et octobre 1997 a pour
expression :
DE EVWQ − EXYZQ
=
E
EXYZQ
En faisant l’application, on obtient :
DE 87,5 − 70 17,5
=
=
= 0,25 = +25%
E
70
70
Le prix du produit a donc augmenté de 25% entre septembre et octobre 1997.

b) Pour la période octobre – novembre, la variation en pourcentage s’écrit :
DE E[V\ − EVWQ
=
E
EVWQ
En faisant l’application, on obtient :
DE 98 − 87,5 10,5
=
=
= +12%
E
87,5
87,5
Le prix du produit a donc augmenté de 12% entre octobre et novembre.

2°)
a) Ainsi, le prix du produit a augmenté de 25% entre septembre et octobre 1997, puis de 12% entre
octobre et novembre.
La variation relative entre septembre et novembre, qui est la variation relative globale, ne se calcule pas en
additionnant les variations en pourcentage sur les deux périodes intermédiaires : elle ne s’obtient pas en
faisant 25% + 12% = 37%. En effet, le lien entre la variation relative globale et les variations relatives
intermédiaires n’est qu’indirect : il découle du lien entre les coefficients multiplicateurs.

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b) Si on appelle VAREL1 la variation relative du prix entre septembre et octobre, VAREL2 la variation
relative du prix entre octobre et novembre, et VARELG la variation relative globale entre septembre et
novembre, alors on a la relation suivante, qui est une relation entre coefficients multiplicateurs :
B1 + ]1^_` C × B1 + ]1^_` C = B1 + ]1^_`a C
On déduit alors la variation relative globale. Elle correspond au produit des coefficients multiplicateurs
intermédiaires minoré de l’unité. On a :
]1^_`a = B1 + ]1^_` C × B1 + ]1^_` C − 1
En faisant l’application, on obtient:

VARELG = (1 + 25%) × (1 + 12%) − 1 = 1,25 × 1,12 − 1 = 1,4 − 1 = 0,4 = + 40%
Ainsi, alors que le prix du produit a augmenté de 25% entre septembre et octobre et de 12% entre octobre
et novembre, la variation en pourcentage sur l’ensemble de la période est de 40% (et non de 37%, obtenu
par la méthode erronée de l’addition des variations en pourcentage sur les périodes intermédiaires).

3°)
a) Si le prix du produit se situe au niveau 100 au mois de septembre, alors l’indice du prix au mois
d’octobre vaut :
87,5
× 100 = 1,25 × 100 = 125
Ind P Oct = Poct × 100 =
70
Psept
100 = sept

De même, l’indice du prix au mois de novembre, en prenant comme base 100 le mois de septembre, vaut :
Ind P Nov = Pnov × 100 = 98 × 100 = 1,4 × 100 = 140
70
Psept
100 = sept

b) Le tableau récapitulatif des indices se présente de la manière suivante :

Ind P

Septembre 1997

Octobre 1997

Novembre 1997

100

125

140

**********

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EXERCICE N°19

On s’intéresse à l’évolution du prix unitaire d’un bien (en dollar), noté P, entre la date 0 et la date 1.
1°) Trouver la relation permettant de passer du coefficient multiplicateur à la variation relative du prix,
de la variation relative du prix au coefficient multiplicateur du prix.
2°) Trouver la relation permettant de passer de la variation relative du prix à l’indice du prix, de l’indice
du prix à la variation relative.
3°) Faire un schéma récapitulatif des relations entre variation relative, coefficient multiplicateur et indice
pour une grandeur simple G.
4°) Faire l’application avec comme données initiales successives : un coefficient multiplicateur du prix
unitaire égal à 1,3 ; une variation en pourcentage égale à +40% ; un indice des prix à l’instant t1 égal à 75.
5°) Si le coefficient multiplicateur du prix est inférieur à 1, quelles sont les valeurs prises par la variation
absolue et l’indice ? Même question lorsque le coefficient multiplicateur du prix est supérieur à 1.

1°)

a) La variation relative du prix entre la date 0 et la date 1 a pour expression :
DE E − E
E
=
= −1
E
E
E
représente le coefficient multiplicateur du prix entre la date 0 et la date 1.

Cette formule permet de passer de la valeur du coefficient multiplicateur à la valeur de la variation
relative : connaissant le coefficient multiplicateur, il suffit de retrancher l’unité pour connaître la variation
relative.
Par exemple, si le coefficient multiplicateur du prix entre la date 0 et la date 1 est de 1,20, alors la variation
en pourcentage est de :
1,20 – 1 = 0,20 = +20%.
b) En faisant une simple transformation, on obtient la relation qui permet de passer de la variation
relative du prix au coefficient multiplicateur du prix. On a :
E
DE
=
+1
E
E
Connaissant la variation relative du prix, il suffit de l’augmenter de l’unité pour obtenir le coefficient
multiplicateur du prix.
Ainsi, dire que le prix d’un bien a augmenté de 30% entre la date 0 et la date 1 revient à dire que le prix en
vigueur à la date 0 a été multiplié par 1,3. En effet :
30% + 1 = 0,3 + 1 = 1,3

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2°)

a) L’indice du prix à la date 1, en prenant comme base 100 l’instant 0, a pour expression :
GHI EBR C =
JQ

E
× 100
E

est le coefficient multiplicateur du prix entre la date 0 et la date 1.
En le remplaçant par la formule qui l’exprime en fonction de la variation relative, on a :
DE
GHI EBR C = b + 1c × 10
JQ
E
Cette formule exprime l’indice du prix en fonction de la variation relative. Connaissant la variation relative
du prix entre la date 0 et la date 1, on peut déduire l’indice du prix à l’instant 1, en prenant comme base
100 l’instant 0.
Par exemple, si le prix d’un bien augmente de 10% entre la date 0 et la date 1, alors l’indice du prix à
l’instant 1 en prenant comme base 100 l’instant 0 vaut :
GHI EBR C = B10% + 1C × 100 = 1,1 × 100 = 110
JQ

b) En faisant une simple transformation, on peut exprimer la variation relative en fonction de
l’indice. On a :
GHI EBR C
DE
JQ
b + 1c =
100
E

⇔

GHI EBR C
DE
JQ
=
−1
100
E

Cette formule permet de passer de l’indice à la variation relative. Connaissant la valeur de l’indice du prix à
la date 1 en prenant comme base 100 la date 0, on peut déduire la variation relative du prix entre la date 0
et la date 1.
Par exemple, si l’indice du prix est égal à 120 à l’instant 1, en prenant comme base 100 l’instant 0, alors la
variation en pourcentage entre la date 0 et la date 1 vaut :

.

DE 120
=
− 1 = 1,2 − 1 = 0,2 = +20%
E
100

3°) Le schéma récapitulatif s’apparente à un triangle ayant pour sommets : la variation relative ∆G , le
G
Ind
G (t1) = G1 ×100 .
coefficient multiplicateur G1 et l’indice 100
=t
G0
G0
0

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4°)
a) Si le coefficient multiplicateur du prix unitaire d’un produit est égal à 1,3, le schéma ci-dessus
nous permet de déduire facilement que :
-

la variation relative du prix unitaire est égale à 0,3, soit 30%
L’indice du prix unitaire à l’instant t1 en prenant comme base 100 l’instant t0 est égal à 130.

b) Si la variation du prix unitaire en pourcentage est égale à +40%, on déduit que :
-

le coefficient multiplicateur du prix unitaire est égal à 1,4 (zone rouge).
L’indice du prix unitaire à l’instant t1 , en prenant comme base 100 l’instant t0 , est égal à 140.

c) Si l’indice du prix unitaire à l’instant t1 , en prenant comme base 100 l’instant t0 , est égal à 75, on
déduit que :
-

5°)

le coefficient multiplicateur du prix unitaire est égal à 0,75.
La variation en pourcentage du prix unitaire est égale à –25%.

a) Si le coefficient multiplicateur du prix unitaire est inférieur à 1, alors :
-

la variation relative ou variation en pourcentage du prix unitaire est négative.
l’indice du prix unitaire est inférieur à 100.

Page 41 sur 44

En effet :

P1 < 1
P0

P1 < 1
P0

⇔

P1 − 1 < 1 − 1
P0

⇔

∆P < 0
P

⇔

P1 × 100 < 1 × 100
P0

⇔

Ind P(t1 ) < 100

100 = t 0

b) Si le coefficient multiplicateur du prix unitaire est supérieur à 1, alors :
-

la variation relative ou variation en pourcentage du prix unitaire est positive.
L’indice du prix unitaire est supérieur à 100.

En effet :

P1 > 1
P0

P1 > 1
P0

⇔

P1 − 1 > 1 − 1
P0

⇔

∆P > 0
P

⇔

P1 × 100 > 1 × 100
P0

⇔

Ind P(t1 ) > 100

100 = t 0

Le tableau ci-dessous contient la typologie des valeurs que peuvent prendre le coefficient multiplicateur, la
variation relative et l’indice.

P1
P0

∆P
P

Cas N°1

>1

>0

> 100

Cas N°2

<1

<0

< 100

Ind P(t1 )

100=t 0

**********

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EXERCICE N°20
On suppose que le salaire d’un individu a été multiplié par 0,88 entre septembre 1996 et septembre
1997.
1°) Comment son salaire a-t-il évolué ?
2°) De combien est le pourcentage de variation ?
3°) A quel indice se trouve le salaire en septembre 1997 ?

1°) Soit W le salaire nominal de l’individu. On a :
f = 0,88. f
Le salaire de l’individu a été multiplié par un nombre strictement inférieur à 1 entre septembre 1996 et
septembre 1997. Son salaire a donc diminué. Le nombre 0,88 correspond au coefficient multiplicateur. On
a:
f
f

= 0,88

2°)
a) Le pourcentage de variation ou variation relative du salaire nominal se déduit du coefficient
multiplicateur. En effet :
Df f − f
=
f
f

⇔

Df f
=
−1
f
f

b) En faisant l’application, on obtient le résultat suivant :
Df
= 0,88 − 1 = −,0,12 = −12%
f
Le salaire nominal de l’individu a donc baissé de 12%.

3°) L’indice du salaire nominal pour septembre 1997, en prenant comme base 100 l’année 1996, a pour
expression :
GHI f1997 =
J

f
f

× 100

On constate bien que la valeur de l’indice se déduit de celle du coefficient multiplicateur. En faisant
l’application, on obtient :
GHI f 1997 = 0,88 × 100 = 88
J

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Bibliographie

GENEREUX, Jacques, 2023, « Economie politique 1 – Economie descriptive et comptabilité », Hachette
Supérieur, Les fondamentaux, 10e édition, 160p.

NURBEL, Alain, 2001, « Calculs économiques élémentaires » in Macroéconomie, 17 Fiches de travaux
dirigés, pp.25-38.

NURBEL, Alain, 2004, « Statistique descriptive. 40 exercices corrigés sur les variations », Editions Publibook
Université Université, 106p.

SCHLACTHER, Didier, 2008, « Comprendre la formulation mathématique en économie », Hachette
Supérieur, Les fondamentaux, 5e édition, 159p.

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