Calcul de probabilité

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 2

Calcul de probabilité
2.1

Introduction

1. Définitions :
• Experience aléatoire : On appelle "experience aléatoire" ou "épreuve", toute experience dont le résultat est régi par le hasard.
Exemple.

– Le jet d’une pièce de monnaie.

– Le jet d’un dé.
• Espace des événements : L’espace des événements est l’ensemble qui contient tous les
résultats possibles de l’experience aléatoire. Il est noté Ω .
Exemple.

– Le jet d’une pièce de monnaie : Ω = { <5->Pile, Face }.

– Le jet d’un dé : Ω = {< 7− > 1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Événements :
– On appelle "événement élémentaire", tout sous ensemble de Ω qui ne contient qu’un
seul élément.
– On appelle "événement composé", tout sous ensemble de Ω qui contient plusieurs
éléments.
– On appelle "événement certain" l’ensemble qui contient tous les événements possibles : Ω.
– On appelle "événement impossible" l’ensemble qui ne contient aucun événement possible. Il est noté ∅.
Exemple. Lorsqu’on jette un dé :
– L’événement "avoir le chiffre 3" est un événement élémentaire. On note A = {3} .
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CHAPITRE 2. CALCUL DE PROBABILITÉ

2.2. PROBABILITÉ D’UN ÉVÉNEMENT

– L’événement "avoir un chiffre pair" est un événement composé. On note B = {2, 4, 6}.
– L’événement Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} est dit événement certain .
– L’événement "avoir le chiffre 9" est dit événement impossible . On note ∅ = {9}
• Réalisation d’un événement :
– Quand on effectue une éxperience aléatoire, le résultat obtenu est noté ω.
– Soit A un événement quelconque de cette experience. Si ω ∈ A, nous disons que
l’événement A est réalisé.
Exemple. On jette un dé et on obtient le résultat 2.
– Lévénement A :"avoir un chiffre pair" est réalisé, car 2 ∈ A.
– Lévénement B :"avoir un chiffre supérieur à 3" n’est pas réalisé, car 2 ∈
/B .
• Événements incompatibles : Nous disons que les événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. (c.à.d A ∩ B = ∅)
Exemple. On jette un dé et on considère les événements :
– A :"avoir un chiffre pair".
– B :"avoir un chiffre impair".
Les événements A et B sont incompatibles.

2.2

Probabilité d’un événement

1. Définition : Soit Ω un espace d’événements, et soit P (Ω) l’ensemble des parties de Ω.
Une probabilité P sur un espace d’événements Ω est une application :
P:

P (Ω)

−→

[0; 1]

telle que :
(a) P(Ω) = 1

et

P(∅) = 0.

(b) ∀A, B ∈ P (Ω) tels que : A et B incompatibles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
2. Propriétés :

(a) Soit A un événement de Ω, et soit A son complémentaire dans Ω. Alors :
P(A) = 1 − P(A).

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CHAPITRE 2. CALCUL DE PROBABILITÉ

2.3. CALCUL DE PROBABILITÉ

(b) Soient A et B deux événements de Ω, tels que A ⊂ B. Alors :
P(A) ≤ P(B).
(c) Soient A et B deux événements quelconques de Ω. Alors :
P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B).
3. Formule de Pointcarré : Soient A et B deux événements quelconques de Ω. Les événements
A et B − A sont incompatibles.
⇒ P(A ∪ B) = P(A ∪ (B − A)) = P(A) + P(B − A).
On applique la proriété 3 :
P(A ∪B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Remarque. La probabilité de l’union de 3 événements quelconques : A , B et C est donnée
par :
P(A ∪ B ∪ C) =

P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B)−
P(B ∩ C) − P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

2.3

Calcul de probabilité

1. Définition : Soit l’espace des événements équiprobables : Ω = {ω1 , ω2 , · · · , ωn }.
• ∀i ∈ {1, 2, · · · , n} : P(ωi ) =

1
card(Ω)

• Soit A ∈ P (Ω). Alors : P(A) =

=

card(A)
card(Ω)

1
n

=

card(A)
n

En terme général :
P(A) =

Nombre de cas favorables à A
Nombre de cas possibles

2. Probabilité conditionnelle : La probabilité que lévénement A se réalise, sachant que lévénement B s’est déjà réalisé est appelée "probabilité conditionnelle" et est donnée par :
P(A/B) =
Propriétés.

P(A ∩ B)
P(B)

• P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) = P(B/A).P(A) .

• P(A/B) = 1 − P(A/B) .
Exemple. On choisit au hasard une famille qui a 4 enfants, et on s’interesse au nombre de
fille et de garçons qu’elle a (en tenant compte de l’ordre des naissances des enfants).

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CHAPITRE 2. CALCUL DE PROBABILITÉ

2.3. CALCUL DE PROBABILITÉ

• Quelle est la probabilité que cette famille ait 4 filles ?
• Sachant que cette famille a des enfants des deux sexes, quelle est la probabilité qu’elle ait
au moins deux garçons ?
3. Formule des probabilités totales :
Rappel : On appelle partition de l’espace d’événements Ω, la donnée des événements : A1 ,
A2 , · · · , An tels que :
∀i, j ∈ {1, 2, · · · , n} : Ai

T

Aj = ∅ et

n
[

Ai = Ω

i=1

Formule : Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un événement quelconque de Ω.
Alors :
P(B) =

n
X

P(B

\

Ai ) =

i=1

n
X

P(B/Ai ).P(Ai )

i=1

Exemple. Une boite contient trois urnes U1 , U2 et U3 de 10 boules chacune. U1 contient une
boule blanche, U2 en contient 2 et U3 en contient 6.
On choisit une boule au hasard de la boite. Quelle est la probabilité que la boule soit blanche ?
4. Formule de Bayes : Soit A1 , A2 , · · · , An une partition de Ω, et soit B un événement quelconque de Ω. Alors :
P(Ai /B) =

P(Ai ).P(B/Ai )
P(B)

Exemple. Dans l’exemple précédent, quelle est la probabilité que la boule blanche tirée soit de
l’urne U2 ?
5. Événements indépendants : Soient A et B deux événements quelconques. Nous disons que
A est indépendant de B si :
P(A/B) = P(A)
Remarque. A et B sont indépendants si et seulement si :
P(A

T

B) = P(A).P(B)

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