Probabilités Lois usuelles

Probabilités
Kara-Zaitri Lydia
École préparatoire en sciences et techniques d’Oran
Programme de première année
/

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Chapitre 4

Lois de probabilité usuelles
4.1

Lois usuelles discrètes

1. Loi uniforme discrète : Soit n ∈ N∗ . On dit que la v.a X suit la loi uniforme discrète sur
l’ensemble {k1 , k2 , · · · , kn } si les ki sont équiprobables. c.à.d :
X(Ω) = {k1 , k2 , · · · , kn } et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = ki ) =

1
n.

On note X ; U {k1 , k2 , · · · , kn } .
Propriétés. Soit X une v.a.d :
(a) si X ; U {a, a + 1, a + 2, · · · , b}, alors :
E(X) =

a+b
2

V ar(X) =

et

(b − a)(b − a + 2)
.
12

(b) si X ; U {1, 2, 3, · · · , n}, alors :
E(X) =

n+1
2

et

Var =

n2 − 1
.
12

2. Loi de Bernoulli de paramètre p : Soit p ∈ [0, 1]. On dit que la v.a X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, si elle n’admet que deux résultats possibles :
• le succés qui prend la valeur 1 avec une probabilité p,
• l’échec qui prend la valeur 0 avec une probabilité q = 1 − p.
c.à.d :
X(Ω) = {0, 1}, et ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = pk (1 − p)1−k .
On note X ; B(p).
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CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

4.1. LOIS USUELLES DISCRÈTES

Propriétés. si X ; B(p), alors :
E(X) = p

et

Var = pq.

3. Loi Binomiale de paramètres n et p : Soient n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1]. On dit que la v.a X suit
la loi Binomiale de paramètres n et p, si elle donne le nombre de succés quand on répète n fois
une expérience de Bernoulli de paramètre p de manières indépendantes.
On note X ; B(n, p) .
Propriétés. Si X ; B(n, p), alors :
• X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , n},
• ∀k ∈ X(Ω) : P(X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k ,
• E(X) = n p,
• Var(X) = n p q.
4. Loi de Poisson de paramètre λ : Soit λ > 0. On dit que la v.a X suit la loi de Poisson
de paramètre λ, si elle donne le nombre de fois qu’un événement se produit sur une periode
donnée ( une surface, un volume), sachant que cet événement se produit λ fois en moyenne sur
cette même période ( surface, volume).
On note X ; P(λ).
Propriétés. Si X ; P(λ), alors :
• X(Ω) = {0, 1, 2, · · · , } = N,
• ∀k ∈ N : P(X = k) = e−λ

λk
,
k!

• E(X) = λ ,
• Var(X) = λ.
Exemple. Sur une autoroute on a enregistré en moyenne 4 accidents par semaine.
• Quelle est la probabilité que la semaine prochaine il y ait trois accidents ?
• Quelle est la probabilité qu’il y ait un accident aujourd’hui ?
Exemple. Un réservoir d’eau de 2000 litres contient en moyenne 3 bactéries par litre. Si vous
buvez un litre de ce réservoir, quelle est la probabilité que vous avaliez 8 bactéries ?

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CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

4.2

4.2. LOIS USUELLES CONTINUES

Lois usuelles continues

1. Loi uniforme continue : Soient a, b ∈ R tels que a < b. On dit que la v.a X suit la loi
uniforme continue sur [a, b] si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

f (x) =






1
b−a

si x ∈ [a, b],





0

sinon.

On note X ; U[a, b] .
Propriétés. Si X ; U[a, b], alors :
• E(X) =

a+b
2

• V ar(X) =

,

(b−a)2
12

.

2. Loi exponentielle de paramètre λ : Soit λ > 0. On dit que la v.a X suit la loi exponentielle
de paramètre λ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :

f (x) =


−λx


 λe

si x > 0,



 0

sinon.

On note X ; E(λ) .
Propriétés. Si X ; E(λ), alors :
1
,
λ
1
• V ar(X) = 2 .
λ
• E(X) =

3. Loi Normale (Loi Gaussienne, Loi de Laplace-Gauss) :
(a) Loi Normale centrée et réduite : On dit que la v.a X suit la loi Normale centrée et
réduite, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
1 2
1
f (x) = √ e− 2 x
2π

∀x ∈ R.

,

On note X ; N (0, 1) .
Fonction de répartition : F (x) =

Rx
−∞

Graphiquement :

5

√1
2π

1

2

e− 2 t dt = ?

CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

4.2. LOIS USUELLES CONTINUES

Cloche symétrique par rapport à l’axe des y .
Propriétés. Si X ; N (0, 1), alors :
• E(X) = 0 .
• V ar(X) = 1 .
• F (−x) = P(X ≤ −x) = P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 − F (x).
(b) Loi Normale de paramètres µ et σ : On dit que la v.a X suit la loi Normale de paramètres µ et σ, si elle admet pour densité de probabilité la fonction :
f (x) =

σ

1
√

e− 2 (
1

2π

x−µ
σ

)

2

,

∀x ∈ R.

On note X ; N (µ, σ) .
Graphiquement :

Cloche symétrique par rapport à l’axe (x = µ). Pointue pour σ petit, aplatie pour σ
grand.
Propriétés. Si X ; N (µ, σ), alors :
• E(X) = µ .
• V ar(X) = σ 2 .
X −µ
• La v.a X ∗ =
; N (0, 1).
σ

6

CHAPITRE 4. LOIS DE PROBABILITÉ USUELLES

4.3

4.3. APPROXIMATIONS

Approximations

1. Approximation de la loi Binomiale par la loi de Poisson : Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; p ≤ 0, 1 et np ≤ 15, nous pouvons approcher la loi Binomiale B(n; p) par la loi de
Poisson P(np) .
2. Approximation de la loi Binomiale par la loi Normale : Soit X ; B(n; p) .
Si n ≥ 30 ; np ≥ 15 et npq ≥ 5, nous pouvons approcher la loi Binomiale B(n; p) par la loi
√
Normale N (np ; npq) .
3. Correction de continuité : Si X ; B(n; p) et qu’on l’approche par la loi Normale N (np ;
Pour calculer P (X = k) avec la loi Normale, il faut calculer P (k −

7

1
2

<X ≤k+

1
2)

.

√

npq).