sujet prop19

Examen Blanc de Mathématiques : 2BAC PC BIOF lycée
Prive Om-Errabii
A El-Jadida : année scolaire 2018-2019
Ennaji Ahmed : Doctorant et Ingénieur en BI
Exercice 1 :( 3,5 pts)

O;i; j; k  Un repère orthonormé direct dans l’espace.
Soit (S) la sphère de centre le point   2; 1;0  et qui passe par le point
A  3;1  2 

1-a)montrer que R  3 tel que R est le rayon de la sphère (S).
b) en déduire que la sphère (S) a pour équation cartésienne :
2
2
2
x  y  z  4x  2 y  4  0
2-Montrer que le plan (P) tangent à la sphère (S) au point A a pour équation
cartésienne : x  2 y  2 z  9  0
3-a)vérifier que la représentation paramétrique de la droite    qui passe par 
et orthogonale au plan (Q) d’équations cartésienne : 2 x  2 y  z  11  0 est :

 x  2  2t
   :  y  1  2t ; t  IR
z  t

b) vérifier que B   Q  et B     tel que B  4;1;1
c)calculer d  ;  Q  
d) déduire que le plan (Q) est tangent à la sphère (S) au point B

Exercice 2 : (3,5 pts)
1-resoudre dans

E:

l’équation suivante

z  8 3z  64  0
2

Ennaji Ahmed : Doctorant et Ingénieur en BI

1





2-le plan complexe est rapporté au repère O; u; v orthonormé direct. On
considère les points A  a  ; B  b  ; C  c  ; D  d  et G  g  tel que :

a  4 3  4i ; b  a  4 3  4i ; c  3  i ; d  2i ; g  4 3  6i
a)calculer OA ; OB et AB en déduire la nature du triangle OAB



b) Montrer que D est l’image du point C par l’homothétie h de centre  2 3;0



et de rapport k  2
c)Montrer que G  bary  B;1 ;  D;1 ;  O; 1
d) Montrer que le quadrilatère OBGD est un parallélogramme


i
cg
3-Montrer que :
 e 3 en déduire la nature du triangle ACG
ag

Problème : (9 pts)
I-Soit g la fonction définie sur 1;  par g  x   1  x   1  ln 1  x 
2

1-a)vérifier que g  0   0
b) calculer lim g  x  et lim g  x 
x 

x 1

2 1  x   1
2-a)Montrer que : x  1: g '  x  
x 1
2

b) en déduire le sens de variation de la fonction g sur 1;  et dresser le
tableau de variation de la fonction g.
c) donner le signe de g  x  sur 1;0 et aussi sur  0;
II-Soit f la fonction définie sur 1;  par f  x   x 

ln 1  x 
1 x

1-a)vérifier que f  0   0
b) Montrer que lim f  x    et lim f  x    en déduire une interprétation
x 

x 1

géométrique de ce résultat

Ennaji Ahmed : Doctorant et Ingénieur en BI

2

c)Montrer que la droite    est une asymptote à la courbe  C f  au voisinage de


d) étudier la position relative de la courbe  C f  et la droite    sur chacun des
intervalles suivants 1;0 et  0; 

2-determiner les coordonnées du point d’intersection de la courbe  C f  et la
droite   
3-a)Montrer que : x  1: f '  x  

g  x

 x  1

2

b) Montrer que la fonction f est décroissante sur 1;0 et croissante sur  0;
c)dresser le tableau de variation de la fonction f .



4-construire la courbe  C f  dans un repère orthonormé O; i; j



(unité :1cm )

5-calculer l’aire de la partie du plan limitée par la courbe  C f  , la droite   
,l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x  0 et x  1
un1  f  un 
III-On considère la suite  un  définie par : 
tel que
u

4
 0
n  IN et x   0;4

1-verifier que f  x    0;4
2-Montrer par récurrence que : n  IN : 0  un  4
3-Montrer que la suite  un  est décroissante
4- En déduire que la suite  un  est convergente et calculer sa limite

Exercice 3 : (4 pts)
1-a)résoudre l’équation différentielle  E  : 2 y '' y ' 3 y  0
b) déterminer la fonction y0  x  solution de l’équation différentielle (E ) qui
vérifie : y0  0   1 et y0 '  0   1

Ennaji Ahmed : Doctorant et Ingénieur en BI

3

2-a)vérifier que : x  IR  1 :
b) En déduire que : 

e

1

1
1
1
 
x  x  1 x x  1

1
 2 
dx  1  ln 

x  x  1
 e 1

c)en utilisant une intégration par parties. Montrer que
e
1
e
 2 
1  x  12 ln xdx  e  1  ln  e  1 

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4