tcm sef etude de fonctions 2

Tronc Commun
Série 2 : Etude de Fonctions

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Série 2 : Etude de Fonctions
Exercice 1 :
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par : f ( x ) =

−10 x
1+ x2

1. Montrer que la fonction f est impaire
2. Montrer que 5 est une valeur maximale de f sur ℝ
3. a) Soient a et b deux réels distincts , montrer que :

f (a ) − f (b)
10 (ab −1)
=
a −b
(1 + a 2 )(1 + b2 )

b) En déduire la monotonie de la fonction f sur [0,1] et [1,+∞[
4. Donner le tableau de variation de f sur ℝ
Exercice 2 :
Soit f la fonction numérique définie par : f ( x ) =

x
x −1

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f
2. Etudier la monotonie de f sur les intervalles ]−∞,1[ et ]1,+∞[
3. Dresser le tableau de variation de f
4. Comparer les deux nombres :

2
et
2 −1

3
3 −1

Exercice 3 :
x
x−2
2
1. Déterminer Dg et vérifier que pour tout x de Dg : g ( x) = 1 +
x−2
2. Donner les tableaux de variations de f et g

Soient f et g deux fonctions définies par : f ( x ) = x 2 − 2 x et g ( x ) =

3. Déterminer les points d’intersection de (C f ) et (Cg ) avec les axes du repère
4. Tracer les courbes (C f ) et (Cg ) dans le même repère orthonormé (O, i , j )
5. Déterminer algébriquement les points d’intersection de (C f ) et (Cg )
6. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x) ≤ g ( x)
7. Soit h la fonction définie par : h ( x) =

x
x −2

a) Déterminer Dh
b) Montrer que la fonction h est paire
1/15

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Série 2 : Etude de Fonctions
c) Vérifier que h ( x) = g ( x) pour tout x de ℝ + − {2}
d) Tracer la courbe (Ch ) dans le même repère (O, i , j )
8. Soit k la fonction définie par : k ( x) = f ( x)
a) Tracer la courbe (Ck ) dans le même repère (O, i , j )
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m , le nombre de solutions de
l’équation k ( x) = m
Exercice 4 :
3x − 3
x +1
6
1. Déterminer Dg et vérifier que pour tout x de Dg : g ( x) = 3 −
x +1
2. Donner les tableaux de variations de f et g

Soient f et g deux fonctions définies par : f ( x) = x 2 − 2 x +1 et g ( x) =

3. Déterminer les points d’intersection de (C f ) et (Cg ) avec les axes du repère
4. Tracer les courbes (C f ) et (Cg ) dans le même repère orthonormé (O, i , j )
5. Déterminer algébriquement les points d’intersection de (C f ) et (Cg )
6. Résoudre graphiquement l’inéquation f ( x) ≥ g ( x)
7. Soit h la fonction définie par : h ( x) =

3 x −3
x +1

a) Déterminer Dh
b) Montrer que la fonction h est paire
c) Vérifier que h ( x) = g ( x) pour tout x de ℝ +
d) Tracer la courbe (Ch ) dans le même repère (O, i , j )
8. Soit k la fonction définie par : k ( x) = f ( x)
a) Tracer la courbe (Ck ) dans le même repère (O, i , j )
b) Discuter suivant les valeurs du paramètre réel m , le nombre de solutions de
l’équation k ( x) = m
***

2/15

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Série 2 : Etude de Fonctions
Corrigé de l’exercice 1 :
1. Soit x ∈ ℝ , on a :
⊳ −x ∈ ℝ
⊳ f (−x) =

−10 (−x )
2

1 + (−x )

=

10 x
−10 x
=−
= − f ( x)
2
1+ x
1+ x2


Donc pour tout x de ℝ , on a : 

−x ∈ ℝ

 f (−x ) = − f ( x )

D’où f est une fonction impaire
2. Soit x ∈ ℝ :
On a :
2
2
−10 x
−10 x − 5 − 5 x 2 −5( x + 2 x + 1) −5( x + 1)
f ( x)− 5 =
−5 =
=
=
1+ x 2
1+ x2
1+ x2
1+ x2
2

−5( x + 1)
Puisque
≤ 0 alors f ( x ) ≤ 5
1+ x2

De plus ,il est clair que f (−1) = 5

( si non vous pouvez résoudre l’équation

f ( x ) = 5 )pour

Et par suite tout x de ℝ , on a : f ( x ) ≤ f (−1)
On conclut que f (−1) = 5 est la valeur maximale de f sur ℝ
3. a) Soient a et b deux réels distincts, on a :
f (a ) − f (b)
=
a −b
=

=

=
=
=

3/15

−10a −10b
−
1+ a2 1+ b2
a −b
−10a (1 + b 2 ) + 10b (1 + a 2 )

(1 + a 2 )(1+ b2 )(a − b)
10(−a − ab 2 + b + ba 2 )
(1 + a 2 )(1+ b2 )(a − b)
10 (−(a − b) + ab (a − b))

(1 + a 2 )(1+ b2 )(a − b)
10(a − b)(ab −1)

(1 + a 2 )(1+ b2 )(a − b)
10 (ab −1)

(1+ a 2 )(1 + b2 )
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Série 2 : Etude de Fonctions
Donc pour tout a et b deux réels distincts , on a :

f (a ) − f (b)
10 (ab −1)
=
a −b
(1 + a 2 )(1 + b2 )

b)
⊳ étudions la monotonie de la fonction f sur [0,1] :
on a : 10 > 0 et (1 + a 2 )(1 + b 2 ) > 0
0 ≤ a ≤ 1
et on a : 

0 ≤ b ≤ 1
Donc 0 ≤ ab ≤ 1

Donc ab −1 ≤ 0
Et puisque a ≠ b alors ab −1 < 0
f (a ) − f (b)
D’où
<0
a −b

Et par suite f est strictement décroissante sur [0,1]
⊳ étudions la monotonie de la fonction f sur [1,+∞[ :
on a : 10 > 0 et (1 + a 2 )(1 + b 2 ) > 0
a ≥ 1
et on a : 
b ≥ 1
Donc ab ≥ 1

Donc ab −1 ≥ 0
Et puisque a ≠ b alors ab −1 > 0
f (a ) − f (b)
D’où
>0
a −b

Et par suite f est strictement croissante sur [1,+∞[
4. On a f est une fonction impaire
⊳ Puisque f est strictement décroissante sur [0,1] alors f l’est aussi sur [−1,0]
⊳ Puisque f est strictement croissante sur [1,+∞[ alors f l’est aussi sur ]−∞,1]
D’où, le tableau de variation de f

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Série 2 : Etude de Fonctions
Corrigé de l’exercice 2 :
x
x −1
D f = { x ∈ ℝ / x −1 ≠ 0} = { x ∈ ℝ / x ≠ 1} = ]−∞,1[ ∪ ]1, +∞[

1. f ( x ) =

2. Soient a et b deux éléments distincts de D f , on a :
a
b
−
a −1 b −1
a −b
ab − a − ab + b
(a −1)(b −1)
=
a −b
−(a − b)
=
(a −1)(b −1)(a − b)

f (a ) − f (b)
=
a −b

=

−1
(a −1)(b −1)

Donc pour tout a et b deux éléments distincts de D f :

f (a ) − f (b)
−1
=
a −b
(a −1)(b −1)

Sur ]−∞,1[ :
On a a < 1 et b < 1
Donc a −1 < 0 et b −1 < 0
Donc

−1
<0
(a −1)(b −1)

Donc

f (a ) − f (b)
<0
a −b

Et par suite f est strictement décroissante sur ]−∞,1[
Sur ]1,+∞[ :
On a a > 1 et b > 1
Donc a −1 > 0 et b −1 > 0
Donc

−1
<0
(a −1)(b −1)

Donc

f (a ) − f (b)
<0
a −b

Et par suite f est strictement décroissante sur ]1,+∞[
3. Le tableau de variation de f :
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Série 2 : Etude de Fonctions

4. On a 2 ∈ ]1, +∞[ , 3 ∈ ]1, +∞[ et 2 < 3
Puisque f est strictement décroissante sur ]1,+∞[ alors f ( 2 ) > f ( 3 )
Et par suite

2
3
>
.
2 −1
3 −1

Corrigé de l’exercice 3 :
1.

⊳ Dg = { x ∈ ℝ / x − 2 ≠ 0} = {x ∈ ℝ / x ≠ 2} = ]−∞, 2[ ∪ ]2, +∞[
⊳ Soit x ∈ Dg ,on a:
1+

2
x−2+ 2
x
=
=
= g ( x)
x−2
x−2
x−2

Donc pour tout x de Dg : g ( x) = 1 +

2
x−2

2.

⊳ f ( x) = x2 − 2 x
On a : a = 1 donc a > 0
 −b 
−b −(−2)
Et on a :
=
= 1 et f   = f (1) = −1
 2a 
2a
2 (1)

⊳ g ( x) =

6/15

x
x−2

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Série 2 : Etude de Fonctions
On a :

1

0

1 −2

= −2 donc

1

0

1 −2

<0

3.

⊳ Déterminons les points d’intersection de (C f ) avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ l’équation : f ( x ) = 0
f ( x ) = 0 équivaut à x 2 − 2 x = 0
f ( x ) = 0 équivaut à x = 0 ou

x=2

Et par suite : (C f ) ∩ (Ox) = { A(1,0); B (2, 0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (C f ) avec l’axe des ordonnées :
Calculons f (0) :
On a : f (0) = 0
Donc (C f ) ∩ (Oy ) = {O (0,0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (Cg ) avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ − {2} l’équation : g ( x ) = 0
g ( x ) = 0 équivaut à

x
=0
x−2

g ( x ) = 0 équivaut à x = 0

Et par suite : (Cg ) ∩ (Ox) = {O (0, 0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (Cg ) avec l’axe des ordonnées :
Calculons g (0) :
On a : g (0) = 0
Donc (Cg ) ∩ (Oy ) = {O (0,0)}

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Série 2 : Etude de Fonctions
4.
y

6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1
-2
-3
-4
-5
-6

5. Résolvons dans ℝ − {1} l’équation : f ( x ) = g ( x)

f ( x ) = g ( x) équivaut à x 2 − 2 x =

x
x−2

x
=0
x−2

1 
=0
équivaut à x ( x − 2)−

x − 2 

équivaut à x ( x − 2) −





( x −1)( x − 3)
=0
équivaut à x 


x−2


équivaut à x = 0 ou x = 1 ou

x=3

et par suite (C f ) ∩ (Cg ) = { A(1, −1); O (0,0);D (3,3)}
6. graphiquement l’inéquation f ( x ) ≤ g ( x) équivaut à déterminer les intervalles dont on a

(C f ) est au-dessous de (Cg )
c-à-d S = [0,1] ∪ ]2,3]

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Série 2 : Etude de Fonctions
7. h ( x) =

x
x −2

a) Dh = { x ∈ ℝ / x − 2 ≠ 0} = { x ∈ ℝ / x ≠ 2} = ℝ − {−2, 2} = ]−∞, −2[ ∪ ]−2, 2[ ∪ ]2, +∞[
b) Soit x ∈ Dh , on a :

⊳ −x ∈ Dh
⊳ h (−x ) =

( car Dh est symétrique par rapport à 0 )
−x
x
=
= h ( x)
−x − 2
x −2

 −x ∈ Dh
Donc pour tout x de Dh ,on a : 
h (−x) = h ( x)

D’où la fonction h est paire
c) Soit x ∈ ℝ + − {2} , on a :
 x ≥ 0
x
x
=
= g ( x ) car 
 x = x
x −2 x−2
Donc h ( x) = g ( x ) pour tout x de ℝ + − {2}
h ( x) =

d)
y

6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1
-2
-3
-4
-5
-6

9/15

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Série 2 : Etude de Fonctions
8. k ( x) = f ( x)
a)
y
6
5
4
3
2
1

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 x

-1
-2

b) le nombre de solutions de l’équation k ( x) = m est le nombre de points

d’intersection de (Ck ) et l’axe (∆m ) : y = m
⊳ Si m < 0 : l’équation n’a pas de solutions
⊳ Si m = 0 : l’équation admet deux solutions
⊳ Si 0 < m < 1 : l’équation admet 4 solutions
⊳ Si m = 1 : l’équation admet 3 solutions
⊳ Si m > 1 : l’équation admet deux solutions

Corrigé de l’exercice 4 :
1.

⊳ Dg = { x ∈ ℝ / x + 1 ≠ 0} = { x ∈ ℝ / x ≠ −1} = ]−∞, −1[ ∪ ]−1, +∞[
⊳ Soit x ∈ Dg ,on a:
3−

10/15

3( x + 1) − 6 3 x + 3 − 6 3 x − 3
6
=
=
=
= g ( x)
x +1
x +1
x +1
x +1

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Série 2 : Etude de Fonctions
Donc pour tout x de Dg : g ( x ) = 1 +

1
x −1

2.

⊳ f ( x) = x 2 − 2 x +1
On a : a = 1 donc a > 0
 −b 
−b −(−2)
Et on a :
=
= 1 et f   = f (1) = 0
 2a 
2a
2 (1)

⊳ g ( x) =
On a :

3x − 3
x +1
3 −3
1

1

= 6 donc

3 −3
1

1

>0

3.

⊳ Déterminons les points d’intersection de (C f ) avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ l’équation : f ( x ) = 0
f ( x ) = 0 équivaut à x 2 − 2 x + 1 = 0
f ( x ) = 0 équivaut à x = 1

Et par suite : (C f ) ∩ (Ox) = { A(1,0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (C f ) avec l’axe des ordonnées :
Calculons f (0) :
On a : f (0) = 1

11/15

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Tronc Commun
Série 2 : Etude de Fonctions
Donc (C f ) ∩ (Oy ) = { B (0,1)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (Cg ) avec l’axe des abscisses :
Résolvons dans ℝ − {−1} l’équation : g ( x ) = 0
g ( x ) = 0 équivaut à

3x − 3
=0
x +1

g ( x ) = 0 équivaut à x = 1

Et par suite : (Cg ) ∩ (Ox) = { A(1, 0)}
⊳ Déterminons les points d’intersection de (Cg ) avec l’axe des ordonnées :
Calculons g (0) :
On a : g (0) = −3
Donc (Cg ) ∩ (Oy ) = {C (0, −3)}
4.
y
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9

12/15

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Série 2 : Etude de Fonctions

5. Résolvons dans ℝ − {−1} l’équation : f ( x ) = g ( x)

f ( x ) = g ( x) équivaut à x 2 − 2 x + 1 =

3x − 3
x +1

3( x −1)
=0
x +1

3 
=0
équivaut à ( x −1) ( x −1)−

x + 1
2

équivaut à ( x −1) −

 x2 − 4 
=0

+
x
1



équivaut à ( x −1) 

équivaut à x = −2 ou x = 1 ou x = 2
et par suite (C f ) ∩ (C f ) = { A(1,0); E (−2,9); F (2,1)}
6. graphiquement l’inéquation f ( x ) ≥ g ( x) équivaut à déterminer les intervalles dont on a

(C f ) est au-dessus de (Cg )
c-à-d S = ]−∞, −2] ∪ ]−1,1] ∪ [ 2, +∞[
7. h ( x) =

3 x −3
x +1

a) Dh = { x ∈ ℝ / x + 1 ≠ 0} = ℝ

( car pour tout x de ℝ , on a : x + 1 ≠ 0

( x ≥ 0) )

b) Soit x ∈ ℝ , on a :

⊳ −x ∈ ℝ
⊳ h (−x ) =

3 −x − 3 3 x − 3
=
= h ( x)
−x + 1
x +1


Donc pour tout x de ℝ ,on a : 

−x ∈ ℝ

h (−x) = h ( x)

D’où la fonction h est paire
c) Soit x ∈ ℝ + , on a :
3 x − 3 3x − 3
 x ≥ 0
=
= g ( x ) car 
x +1
x +1
 x = x
Donc h ( x) = g ( x ) pour tout x de ℝ +
h ( x) =

13/15

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Série 2 : Etude de Fonctions
d)
y

6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1
-2
-3
-4
-5
-6

8. k ( x) = f ( x)
a) On a k ( x) = f ( x ) = f ( x) car

( f ( x) ≥ 0) donc (Ck ) et (C f ) sont confondues
y

6
5
4
3
2
1

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-1
-2

14/15

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Série 2 : Etude de Fonctions
b) le nombre de solutions de l’équation k ( x) = m est le nombre de points

d’intersection de (Ck ) et l’axe (∆m ) : y = m
⊳ Si m < 0 : l’équation n’a pas de solutions
⊳ Si m = 0 : l’équation admet une seule solution
⊳ Si m > 0 : l’équation admet deux solutions

つづく

15/15

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