Me6.2.oscillateur amorti début

coefficients constants ; ´equations facile

ubles.

rtque la d´
l’on
sait
xponentielle L’oscillateur
ert est encoreharmonique
une Puisque
exponentielle
re
amorti , on peuteriv´ee
eredea` rappel
et
la
force
de
frottement
visqueux,
le
comportement
transformer
toute
´
e
quation
erentie
coefficients constants en une ´equation alg´ebrique. di↵´
Plus

Combinons une force de rappel linéaire et une force de frottement visqueux, le comportement de
l’élongation
uation
: au cours durttemps est donné par:

explicitement,
en
injectant
un
compo
dequi(t)
=
(0)
e
dans
l’´
e
quation,
on
obtient
une
´
e
quation
du du
partient
a
`
la
classe
canonique
des
´
e
quations
di↵´
e
rentielles
appartient a` la classe canonique des ´equations di↵´erentielles

second
degr´
e
en
r
:
d
d
ts
;
´
e
quations
facilement
solubles.
ions facilement solubles.
2

m

=

k

2
dt
dt
ait
que
la
d´
e
riv´
e
e
d’une
exponentielle
rtert est encore une exponentiell
a 2 d´eriv´ee d’une exponentielle e est encore une exponent
5-50
mr
+
r
+
k
=
0
Nous
retrouvons
une
équation
ordinaire du second
ordre à coefficients
´quation di↵´erentielle lin´edifférentielle
aire a` coefficients
constants
en une constants.
´equation a

Forces/ L’oscillateur harm
di↵´erentielle lin´eaire a` coefficients rtconstants
en une ´equatio

jectant un comportement de (t) = (0) e

dans l’´equation, on obtient u

rtde,
qui
poss`
e
en g´
een´
eral,
.
Si
on
prend
en
compte
la
position
initiale
(tquation,
= 0)deux
= on
etobtie
un
comportement
de
(t)
=
(0)
e
dans
l’´
2
0solution

˙ (t = est
˙0 , on pe
laequation
vitesse initiale
0) =
montrer que la solution de l’´
di↵´erentielle
unique
mr2 +
r + k = s’´
0 ecrit[3] Conditions
initiales :
et qu’elle
:
position initiale et vitesse
initiale.

2
◆
✓ rmr
+
r+k =0
t
r
t
2
1
´eral,
r1 et er2 . Si on prend en compte la position initiale
e
r1 edeux solutions
˙0
(t) = 0
+
r1 0) = ˙0 , on peutr2alorsr1montrer que la solution de l’´equation di↵´eren
t=

◆
r2 t

x solutions r1 et r25-51
. Si on prend en compte la position initi

uation di↵´erentielle lin´eaire a` coefficients constants en une ´equation alg´e

ormer toute ´equation di↵´erentielle lin´eaire a` coefficients constants en une ´equation alg´ebr
rt
rt l’´
ctant
un
comportement
de
(t)
=
(0)
e
dans
e
quation,
on
obtient
une
2
itement,
en
injectant
un
comportement
de
(t)
=
(0)
e
dans
l’´
e
quation,
on
obtient
une
´e
5-50
mr + r + k = 0

L’oscillateur harmonique amorti

d degr´e en r :

qui
poss`
e
de,
en
g´
e
n´
e
ral,
deux
soluti
2position
r2 . Si on prend en compte
la
initiale
(t
=
0)
=
et
0
mr
+
r
+
k
=
0
2
mr + r + k = 0
˙ (t = est
˙0 , on
laequation
vitesse initiale
0) =
s montrer que la solution de l’´
di↵´erentielle
unique

oss`ede, en g´en´eral, deux solutions r1 et r2 . Si on prend en compte la position initiale (t =
[3]
˙
˙
et
qu’elle
s’´
e
crit
al,
onmontrer
prend que
en la
compte
(t
essedeux
initialesolutions
(t = 0) = r10 , et
on rpeut
alors
solutionla
de:position
l’´equation initiale
di↵´erentielle
2 . Si
Deux solutions r1 et r2 qui sont (démonstration voir cours de math...):

[3]
˙
elle
s’´
e
crit
:on
=
0)
=
,
◆
0
t
r2 t
r1 e

r1

2

(t) =

r1 t

r2 t

◆

peut✓alors
montrer
que
la
solution
de
l’´
e
quation
di↵´
e
rentie
◆
r t
r t

+ ˙0
0

✓

e

2

(t) =
r2 0
r1 t

✓

e r1 t
r2 e
r1 r2
1

r1 e
r1

◆
r2 t

r2 t

◆

+ ˙0

✓

✓

e

r2 t

r2 t

r1 t

e
r1

r2

r1 t

e
e
r1 e
5-51
✓ r1 t +r2˙t0◆
✓ r2 t
✓
˙ (t) r=2 r02rt1rr12 e r1 te ◆ + ˙r0 2 r2 er1
r2 e
r1re2 r1
r2

r2 e

e
+ ˙0
r
r
✓
2
cas se pr´e1sentent :

r
2
r t

r
1◆
r t

✓

r2 t

◆

◆

r1 e
r1

(t) =

r1 t

r1 t

◆

˙ (t) =

◆

1
2
Trois cas se présentent.
e
e
r
e
r
e
2
1
˙
˙
2
(t)
=
r
r
+
0
1
2
0 n´
4km > 0 alors r1 et r2 sont distincts, r´eels,
egatifs et valent respectivement
Trois
cas
ser2pr´ersentent
:
r2 r1
1

ncts,
r´eels,
t:

r =

p
n´egatifs
2
+

2
•
si
4kmp >2 0 alors r1 et r2 s
et4km
valent respectivement
4km
def

=

↵+

et

r =

def

=

↵

˙ (t)
˙ =

+

0

2 r t
1r t
r02r1er22
r1 e 1
r2 t
1
2
+ ˙0
e
e
r
e
✓
◆
✓
r2 ˙ (t)
r1 = 0 r1 r2
r2 e✓r rtr1 t er tr t+◆ ˙0 ✓r22er rt t
˙ (t)˙ = 0 r1 r2 r e r e + ˙0˙ r2 er
r2 r1
(t) = r r 2
+
1
2
1

1

2

2

2

2

r2

r1r1etr◆1◆t
r1reer1 t
1
r
r 1

r

rr
r
L’oscillateur harmonique amorti
0 1 2

r2r2 r1r1

0

Trois cas se pr´esentent :

22

11

pr´
ersentent
rois
cas
se pr´
e:pr´
sentent
:r´eels,
etTrois
distincts,
n´egatifs et valent respectivement
cas
se
esentent
:
2 sont
Lesetdeux
solutions
r1 et r2 sont
2 2
2
•
si
4km
>
0
alors
r
et
r
sont
distincts,
r´
e
els,
n´
e
gatifs
valent
respectivement
´e4km
gatifs
valent
Premier
•>
si et
4kmr>1 0respectivement
r1 et2 rdistincts,
r´eels,
n´egatifsetet valent
valent respectivement
0 cas:
alors
etalors
r21 sont
r´eels,
n´egatifs
respectivement
2 sont distincts,
réelles:
1
2
p
p
2
2
4km def
4km def
p
pp
p
= ↵+
et 2r1 2=
= ↵
p ++
p2 2 4km
4km
4km
4kmdef
p
defdef2m
2m
def
2
2
r2+=
=
↵
+
et
r
=
=
↵↵
r22 = 4km
=
↵
+
et
r
=
= def
1 1
4km
4km
def
def
2m2m = ↵ +
2m
2m
r =
et r =
= ↵

• si

r1 = 2

5-52

↵ avec
=

0e

↵t

=

↵

1

p

2
2m
+
4km
def
r
Note 2that in these calculations,
we used the following=relations
(see
r
=
↵
+
k
r2r
=
et
↵= 2
2m
kk
2
4m
m
2m
=
↵=
x et

2m 2m

vecavec

et

4km > 0 alors r et r sont distincts, r´e

2m

=

r=

2

↵ = 2m
= cosh(x)
2m+ sinh(x)
k −x
et= cosh(x)
↵ = − sinh(x)
e
m
2m

2 2 mme
4m
4m
2

4m2

et

1 ↵t
˙
1
1 ↵t
(↵ sinh( t) + (t)
cosh(
t))
+
sinh(
t)
↵t 0 e
1
1
˙
sinh(t) t)
cosh(t))t))++˙ 0 e e ↵t sinh(
sinh( t)t)
(t) = = 0 e 0 e↵t (↵(↵
sinh(
+ + cosh(
0

r

2are give
The
constant
A
and
A
can
be
found
when
initial
conditions
1
2
k
2
2
↵
1
↵
1
↵t
↵t
˙0 2e ↵2( cosh(
↵t t)
↵t
˙10 et))
e
sinh(1˙ t)˙ (t)
+=
↵+
sinh(
wx
+
v
0
5-53
=
e
sinh(
t)
t)
↵
sinh(
0
0t))
↵t
↵t ( cosh(
1
0
˙
↵t
↵t
(t)
=
e
sinh(
t)
+
e
(
cosh(
t)
↵
sinh(
t))
0 x
˙0 A2e = sinh( t) 4m
2 the so
and
v0 = 0x(0),
˙e 0 (↵
wesinh(
find t)that
A
and
(t) =
+
cosh(
t))
+
1 =
0 and
1
m
"
↵t
˙
w
t)) + 0 e
sinh( t)
Leune
comportement
estlin´
donn´
e 2par
une combinaison
eaire d’exponentielles
d´ecroissantes
avec, a
` l’in
par
combinaison
eaire
d’exponentielles
d´elin´
croissantes
avec, a
` l’infini
t!
2
!
e comportement est donn´e par
une combinaison lin´eaire
d’exponentielles d´ecroissantes avec, a` l’infi
↵
1
↵t
↵t
˙ (t)↵=
˙
wx
+
v
+1,
un
comportement
domin´
e
par
exp(
↵
+
)t.
e
sinh(
t)
+
e
(
cosh(
t)
↵
sinh(
n´
e
par
exp(
+
)t.
0
0 t))
0
0
−wt
"
"
+1, ↵t
un comportement domin´e par exp(
↵
+
)t.
x(t)
=
e
x
sinh(w
t)
def
0 cosh(w t) +
2
def
e
(
cosh(
t)
↵
sinh(
t))
"
•rsi
4km
=: 0r1alors
r21 =
et r2 /(2m)
sont ´egaux
: ↵
r1 et
= l’expression
r2 =
/(2m)
=(t) ↵etw
etde
l’expression de (
def
r1• et
e
gaux
=
r
=
de
2 sont ´
2
si
4km = 0 alors r1 et r2 sont ´egaux : r1 = r2 =
/(2m) = ↵ et l’expression de (t
2

2

1

˙ (t) est a
` r´e´eecrire.
Apr`
petit
a
` ela
limite
(pr´
dansdel’expression
de
ement
estpassage
donn´
uneescombinaison
aire
d’exponentielles
d´ecroissantes
avec,
s un˙ petit
a
`par
la limite
(un !
0) passage
dans lin´
l’expression
e!
c´e0)
dente
(t),
on pr´ec´edente

r2

L’oscillateur
r harmonique amorti
2

Trois cas se pr´esentent
k :
• si

Premier cas:

(t) =

5-52

˙ (t) =

1

0e

4m2

m

et

↵=

4km > 0 alors r1 et

2

2
0

=

2m
r2 sont

r

distincts, r´e

1 ↵t
˙
(↵ sinh( t) + cosh( t))p
+ 0 e
sinh( t)
2
+
4km
def
2
↵
1 ↵t
↵t r2 =
= t))
↵+
˙
e
sinh( t) + 0 e
( cosh( t) ↵ sinh(

↵t

2m

ement est donn´e par une combinaison lin´eaire d’exponentielles d´ecroissantes avec,

avec

mportement
domin´
e
par
exp(
↵
+
)t.
Le comportement est donné par

une0combinaison
linéaire
4km =
alors r1 et
r2 sont ´egaux : r1 = r2 =
d’exponentielles décroissantes

a
` r´e´ecrire. Apr`es un petit passage a
` la limite (
5-53

(t) =

0e

↵t

r
/(2m) = ↵ et l’expression
2
k
! 0) dans l’expression
pr´ec´eden
=
4m2
m

(1 + ↵t) + ˙0 te

1

def

↵t

1
r
r ↵t 1
˙
=
et
↵t t) +
↵t t)
˙
sinh(
cosh(
t))
+
e
sinh(
2
✓
◆
✓
◆
0
(↵ sinh( t)✓ + cosh(
+ 0r2 e◆r4m
et r1 ersinh(
t)
r t))
t
tm
0e
er◆ t e✓
r2

r1

2

1

↵=

2m

˙ (t) = e0rr1t r2 er t est donn´
Le˙ comportement
une
combinaison
lin´
e
aire
d’exp
r+
t ˙ e par
r
e
0r1 er t
2
r2+ ˙0r1harmonique
r2 r1
(t) = L’oscillateur
0 r1 r2
amorti
r2 r1
r2 r1
2
2
↵ +1,
1
1
un
comportement
domin´
e
par
exp(
↵
+
)t.
↵t
↵t
↵t
↵t
˙
˙0 t)e + 0( ecosh(
spr´
se
pr´
esentent
( cosh(
t)sinh(
↵ sinh(
t))
sinh(
+
t)
↵
t))
esentent
: e : t) sinh(
1 r´eels, ↵t
1 r2 ↵t
2
2r2 sont distincts,
Les
deux
solutions
r
et
sont
1
4km
>
0
alors
r
et
n´
e
gatifs
et
valent
respectivement
˙
1
•et rsi
4km
=
0
alors
r
et
r
sont
´
e
gaux
:
r
=
rsinh(
4kmDeuxième
> 0 alors r1cas:
sont
distincts,
r´
e
els,
n´
e
gatifs
et
valent
respectivement
(t)
=
e
(↵
sinh(
t)
+
cosh(
t))
+
e
2
1
2
2 = t)
0
01
égales:
˙p(t) est a
2d’exponentielles
`
r´
e
´
e
crire.
Apr`
a
`
la
limite
(
!
p
p2 es unp petit passage
par
une
combinaison
lin´
e
aire
d´
e
croissantes
avec,
a
`
l’i
↵
1
2
2
2
↵t
↵t avec, a
+
4km2edef
4km def
˙
˙
ombinaison
lin´
aire
d’exponentielles
d´
e
croissantes
`
l’infin
+
4km
4km
def
def
(t)
=
e
sinh(
t)
+
e
(
cosh(
t)
↵ sin
r2 = r2 =
= ↵ + = et↵ +r01 = et r1 =
= ↵
0
=
↵
2m trouve
2m
2m
2m
:
n´e par exp( ↵ + )t.
1

1

2

2

2

2

1

1

p( ↵ + )t.

1

deflin´
Le
comportement
e
par
une
combinaison
ecroi
r est donn´
et r sont ´egaux : r = r =
/(2m) = eaire
↵ etd’exponentielles
l’expression d´
de
2

r1k

def

2

== r2 = 2 et k/(2m)
↵=
nt +1,
´egaux
:
r
=
↵
et
l’expression
de
(t)
1
un comportement
e par
exp(
↵
+
)t.
4m= mdomin´
2m
et
↵=
2

˙
2
un petit 2passage a` la 4m
limite
l’expression
edente
m ( ! 0) dans
2m (t)
= 0 e ↵t (1pr´
+ec´
↵t)
+
te
0 de
def
2

= 0 alors
r1 0)
et rdans
el’expression
gaux : r1 = r2 pr´
= ec´
2 sont ´
passage
` la4km
limite
( !
e/(2m)
dente= de↵ et(
5-55 • si a

2
↵t
↵
1
1 ↵t
˙
˙
↵t
˙
˙
(t)
=
(
↵
t)e
+
e
(t) =
sinh(
t) + Apr`
cosh(et))
+ 0petit
e
sinh(
t)
(t) est
a`(↵r´
e´ecrire.
s un
passage
a` la limite
0 ( ! 0) dans l’express
0
0e
1

1
˙
cosh( t)) + 0 e

↵t
(t) 2= ↵2 0 e
(↵ sinh( t)1+
sinh( t)
dans l’expression précédente.
↵t
↵t
trouve
:
˙ (t) = 0
e
sinh( t) + ˙0 e
( cosh( t) ↵ sinh( t))
2 emonstrations,
2
3. Pour
les
d´
nous
aux cours de math´
ematiques
↵
1 renvoyons
↵t
↵t
˙ (t) = 0
˙
e
sinh( t) + 0 e
( cosh( t) ↵ sinh( t))

(t) =

↵t

(1 + ↵t) + ˙0 te

sur l

↵t
↵t
ement est donn´e par une combinaison
lin´eaire d’exponentielles d´
ecroissantes avec, a` l’infini t !
0e

↵t
↵t
˙
=
↵t)
2+
↵trte
0
4km =00e˙alors r (1
et r +
sont
´egaux
: r =
= ˙ /(2m)↵t
= ↵ et l’expression de (t) et de
(t)
=
(
↵
t)e
+
e
(1 ↵t)2
0 e par exp( ↵ + )t. 0
n comportement domin´
↵t de (t),
↵t
˙ (t) l’expression
˙
a` r´e´ecrire. Apr`es un petit passage a` la limite ( ! 0) dans
pr´
e
c´
e
dente
on
=
(
↵
t)e
+
e
(1 ↵t)
0
0
def
2
2
↵t
↵t
= 0 alors r1 et r2 sont˙ ´egaux : r1 = r2 =
/(2m) = ↵ et l’expression de (t) et de
= 4km
(
↵
t)e
+
e
(1
↵t)
0
0

= 0e
(1
+ ↵t) + ˙avec,
portement est donn´e par une combinaison lin´e↵t
aire (t)
d’exponentielles
d´ecroissantes
` l’infini t !
0 te a
def

mportement domin´
↵t e par exp( ↵ + )t.
1

2

1

2

) est a
` r´e´ecrire.cours
Apr`es de
un petit
passage
a
` la limite ( le
!calcul
0) dans di↵´
l’expression
pr´ec´edente
de (t), on
voyons
math´
ematiques
eerentiel
int´
gral.
3. Pouraux
les d´emonstrations,
nous
renvoyonssur
aux cours
de math´
matiquesetsur
leecalcul
di↵´erentiel e

uve :

(t) =

0e

↵t

(1 + ↵t) + ˙0 te

↵t

L’oscillateur harmonique amorti

s r1 et r2 = r1⇤ sont distincts et complexes. Nous les ´ecrirons sous la forme :
2

2
⇤ deux solutions r1 et r2 sont
Les
•
enfin
si
4km
<
0
alors
r
et
r
=
r
distincts et complexes.
Troisième
1
2Nous les
1 ´esont
4km < 0 cas:
alors r et r = r⇤ sont distincts et complexes.
crirons sous la forme :

1
2
complexesNous
conjuguées:
⇤ r et 1r = r ⇤ sont distincts et complexes.
4km
<
0
alors
les
´ecrirons
sous
la
⇤ complexes. Nous les ´
m
= r1 sont
ecrirons sous Nous
la forme
: ´
i <2 0 alors
4kmr1<et0r2alors
r11 etdistincts
r22 = r1et
sont
distincts
et
complexes.
les
e
crirons
sous
la
for
1
p
2
2
p
m
i
4km
def p
pp
p
2
2
+ i 4km
i 4km
p =
↵
+
i⌦
et
r
=
=
↵
i⌦
def
1
2p
22 def
r+
=
↵
+
i⌦
et
r
=
=pp↵ i⌦
+
i
4km
i 4km
2 =
1
i 4km 2m
i
4km
2m
def
p
2
2
2m
=4km
↵ + i⌦
et
r1 =
== ↵ ↵i⌦
5-56
r
i⌦ et2 r1 =
+
i
i+
4km
2=
2
def
+
i
4km
i
4km
2m
2m
def
2met
r2r2==
=
↵
+
i⌦
et rr11 ==
= ↵ ↵ i⌦i⌦ 2m
=
↵
+
i⌦
=
2m
2m
2m
2m

2

avec
r

r

r

2
k
et
↵=
k
k⌦2= 2
2
m
4m
2m
et ↵↵=
=
r
⌦ = ⌦ = m 2 4m2 etr
2m
r
2
m 4m
2m
k
2
2
La solution
le produit
de
k
ution
de facteurs
“oscillants”⌦d´e=
termin´es par
⌦ et de contient
facteurs
de
5-57 se pr´esentent des produits
et
↵
=
et es par
=
⌦=
= “oscillants”22 d´etermin´
et
↵↵=⌦
2
pr´esentent des produits de ⌦
facteurs
et deux
de4m
facteurs
deun facteur oscillant
facteurs:
m
2m
m
4m
2m
4m
2m
exponentielle
d´
e
termin´
e
s
par
↵.
On
peut
exprimer
la
solution
sous
la
forme
:
t des produits de facteurs “oscillants” d´etermin´es par ⌦ et de facteurs de
ntielle d´etermin´es par ↵. On peut exprimer la solution sous la forme : et un facteur exponentiel

décroissant.
rmin´ese
sse
par
↵.
peut
la solution
sous
la forme
lution
pr´
sentent
des exprimer
produits
de
facteurs
“oscillants”
d´
e:termin´
esespar
⌦ ⌦etetdedefacteu
Dans
laOnsolution
se pr´
e
sentent
des
produits
de
“oscillants”
d´et
ution
pr´
eesentent
des
produits
facteurs
“oscillants”
d´
efacteurs
termin´
par
fact
✓
◆
sin(⌦t) ✓ ↵t
⌦ cos(⌦t) + ↵ ◆sin(⌦t)
↵td´
˙
eexponentielle
exponentielle
e
termin´
e
s
par
↵.
On
peut
exprimer
lala↵.
solution
sous
lalaforme
: :la solution
(t)d´
=esin(⌦t)
+ees⌦par
e
termin´
peut
exprimer
solution
sous
forme
cos(⌦t)
+
↵
sin(⌦t)
croissance
exponentielle
d´
e
termin´
e
s
par
On
peut
exprimer
0 e d´
0
↵t
↵t
⌦
) = ˙0 e
+ e⌦
0
✓ ✓
◆
✓ ◆
◆
⌦
⌦
2
2
↵
⌦cos(⌦t) + ↵✓˙ sin(⌦t)
⌦ cos(⌦t) ↵ ◆sin(⌦t)
✓ ↵t
◆ +
↵t
sin(⌦t)
⌦
2
2
˙
(t)
=
e
sin(⌦t)
+
e
t
↵ ↵t
+0⌦
↵ sin(⌦t)
↵t 0⌦ cos(⌦t)
˙
e
⌦
⌦
✓
◆◆
) = e ↵t +
sin(⌦t)
+
e
0
0
0
✓
⌦
⌦↵t
⌦
⌦
✓
sin(⌦t)
⌦
cos(⌦t)
+
↵
sin(⌦t)
↵t
sin(⌦t)
⌦
cos(⌦t)
+
↵
sin(⌦t)
˙◆
↵t✓ 0
✓ (t)
◆
sin(⌦t)
⌦
cos(⌦t)
+
↵
sin(⌦t)
(t)
=
+
e
˙
0ee ↵t
↵t
↵t
2
2
=
+
e
˙
trois comportements
avec le mˆ
eme (t)
type=
d’exponentielle
de d´e↵
croissance
lente, en prenant chaque
0
0e cos(⌦t)
⌦
⌦
↵
+
⌦
⌦
sin(⌦t)
+
e
0
0
↵t
⌦
⌦
mportements avec lesin(⌦t)
mˆeme type
d’exponentielle
de
d´
e
croissance
lente,
en
prenant
chaque
˙
+
e
✓
◆
✓
◆⌦◆
⌦
0
0
˙
2
2
es conditions
initiales
:
=
0
=
1
✓
◆
✓
0
0
⌦
⌦
↵2 + ⌦2
⌦ cos(⌦t) ↵ sin(⌦t)
˙

0

✓

◆
2

✓

◆
↵ + ⌦ ↵t sin(⌦t) ↵t ✓˙⌦ cos(⌦t)
⌦
cos(⌦t)
↵ sin(⌦
↵t
+
↵
sin(⌦t)
sin(⌦t)
+
e
(t) = ˙0 e
+e
0
0
⌦
⌦
harmonique
amorti
⌦ L’oscillateur
⌦
✓ 2
◆
✓
◆
2

2

↵ +⌦
⌦ cos(⌦t) ↵ sin(⌦t)
↵t
˙
e
sin(⌦t)
+type
0
0 ed’exponentielle décroissante lente et
Illustrons les trois comportements
avec
le
même
⌦
⌦
˙ (t) =

↵t

ts
avec
le
mˆ
e
me
type
d’exponentielle
de
d´
e
croissance
len
les trois comportements avec le mˆeme type d’exponentielle de d´ecroissance lente, en prenant
˙0 = 1
˙
ˆees
mes: conditions
initiales
:
=
0
0
0 = 0 0 = 1
en prenant les même conditions initiales:

↵

m

k
m

10

9

2

1

5

42

1

0

1

9/2i

85/4

↵+

↵

↵+
5

4

1

1

0

1

1

19/2i
1

1+

9/2i

(t)

↵
9

↵

1

1 + 9/2i

91 + 9/2i

1/8

e

9t

te

(t)

+ 1/8 e
t

9t
1
t
2/9 e/8 sin[
e 9/2 t] + 1/8

1
1+

9/2i

t

te
2/9

e

t

e

t

sin[ 9/2 t]

t

(t) = ˙0 e

(t) =

e

↵t

↵t

sin(⌦t)
⌦ cos(⌦t)
↵ +⌦
⌦ cos(⌦t) ↵ sin(⌦t)
˙ (t)+=↵ sin(⌦t)
+ e ↵t 0
e ↵t 0
sin(⌦t) + ˙0 e ↵t
⌦
⌦
⌦
⌦
✓ 2
◆
✓
◆
↵ + ⌦2
˙0 e ↵t ⌦ cos(⌦t) ↵ sin(⌦t)
sin(⌦t)
+
0
⌦Illustrons les trois comportements avec
⌦ le mˆeme type d’exponentielle de d´ecroissance lente, en prenant chaque

L’oscillateur harmonique amorti

fois les mˆemes conditions initiales :

0

= 0 ˙0 = 1

omportements avec le mˆeme type d’exponentielle de d´ecroissance lente, en prenant chaque
Illustrons
trois
comportements avec le même type d’exponentielle
˙
ditions
initiales : les
0 = 0 0 = 1
k
en prenant les même conditionsminitiales:
↵
m
m

k
m

10

9

2
2

↵+

↵
5-59

10

↵

5

4

1

9

1

1

0

1

1

85/4

1

9/2i

1 + 9/2i

1 + 9/2i

1
2 /8 1e

2

(t)
5

9

2/9

e

t

4

1
1+ /80e

9t

85/4t

↵+

e

1

t

9/2i

sin[ 9/2 t]

t

décroissante lente et
(t)

↵

1

9

1

1

1 + 9/2i

1 + 9/2i

1/8

e

+ 1/8 e

9t

te
2/9

e

t

t

sin[ 9/2 t]

t

force de rappel et la force de frottement visqueux, le comportem

L’oscillateur harmonique amorti

t, en y introduisant les temps

l’´equation :

d2
m 2 =
dt

ue pour l’oscillateur :
k

d
dt

(5-50)
ous Nous
pouvons
r´e´ecrire
l’´el’équation
quation caract´
eristique
plus physiquement,
ytemps
introduisan
pouvons
réécrire
caractéristique
plus
physiquement
en introduisant
les
Forces/en
L’oscillateur

Nous
r´e´evisqueux
crire l’´eque
quation
caract´
eristi
caractéristiques
découverts
précédemment
pour
le
frottement
visqueux
pour
ristiques
d´ecouverts
pr´ec´edemment
tanttant
pour
lepouvons
frottement
que
pour
l’oscillateu
l’oscillateur:
(5-50)
pouvons
r´e´ecrire l’´equation caract´eristique
plus physiquement,
en
y introduisant
le
caract´
eristiques
d´
e
couverts
pr´
e
c´
e
demment
tant
po
k
1
2
2
2
2
r
+
=
0
!
r
+
r
+
!
=0
mr
+
r
+
k
=
0
!
r
+
ques d´ecouverts pr´ec´edemment tant pour lemfrottement
visqueux
que
pour
l’oscillateur
:
m
⌧
5-60
mr2 + r + k = 0 ! r2 +
kd´egage l’´echelle2 de 1temps associ´
2 les solutions sous une forme
2
rimera alors
o`
u
on
= 0 ! r + r + ! 2 = 0 ee au frotte
mr + r + k = 0 ! r + r +
m
m
⌧
def
[4]
am`eOn
tre dégage
sans dimension
= ⌧associée
! quiOn
indique
le rapport
⌧ et l’´echelle
lu
alors
les solutions
sous
une
formedeo`
une échelle deQtemps
auexprimera
frottement
et
uneentre
sans
dimension
qui
estde
le temps
era alors
lesentre
solutions
sous
une hforme
o`
u on d´egage
echelle
dep
temps[4]
associ´
ee au frottemen
def
rapport
l’échelle
de temps
des frottements
et iles l’´
oscillations:
h
i
p
un param`
etre sans
1
1 dimension 2Q = ⌧ ! qui indiq
2
2
def
1 ±indique
1 4⌧
! = entre1 ±
1l’´echelle
4Q de temps de l’osci
tre sans dimension[4] Qr =
= ⌧ !⌧ qui
le rapport
⌧
et
⌧
h
p
1
h 5-61
i
h
ir =
p
p
1
±
1
4
1
1
1
mportement sera interpr´
etre
Q⌧: Q = /2 cor
r = et´e 1en
± fonction
1 4⌧ 2du
! 2 param`
=
1 ±sans1 dimension
4Q2
⌧
⌧
rtement dit “critique” car il s´epare deux comportements distincts : un mouvement oscillan
Le comportement sera interpr´et´e en fonction
du
1
tement
sera
interpr´esera
t´e en
fonction
duoscillation
param`
etre
sans
dimension
QQ: Q = /2 corresp
> 1/Le
un
comportement
amorti
sans
pour
Qsans
< 1dimension
/2.
interprété
en fonction
du paramètre
2, comportement

r+! =0
2

s associ´ee au frottement (⌧ ) et

helle de temps de l’oscillation :
comportement dit “critique” car il s´epare deux co
inentespace
dit “critique”
car il s´epare
comportements
distincts
: un
mouvement
oscillant
et
de repr´esentation
tr`esdeux
utilis´
e en cin´ematique
consiste
a` porter
la vitesse
en fon

eux que pour l’oscillateur
:
k
1
2 eristique
2 physiquement, en y introduisant le
pouvons r´e´ecrire l’´equation caract´
plus
=
0
!
r
+
r
+
!
=
0
force
de
rappel
et
la
force
de
frottement
visqueux,
le
comportem
On
exprimera
alors
les
solutions
sous
une
forme
o`
u
ques
d´
e
couverts
pr´
e
c´
e
demment
tant
pour
le
frottement
visqueux
que
pour
l’oscillateur
:
1
m
2
2L’oscillateur ⌧harmonique amorti
r + !: = 0
l’´e+
quation
def 1
k
[4]
⌧
= 0 !Q r =
+ ⌧
r+
! qui
= 0 indiq
mr + er tre
+ k =sans
0 ! dimension
r + r+
n param`
!
massoci´
m
⌧
2
age l’´echelle de temps
e
e
au
frottement
(⌧ )
d
d
temps associ´ee au frottement
et l’´echelle de temps
=on(⌧d´ke)gage
era alors les solutions sous unem
forme2 o`
u
associ´ep
e au frottemen
h
dt
dt
1
pport
entre
l’´
eindique
chelle
de
tre
sans
dimension
Q⌧= et
⌧!
le rapport
entre ⌧ et l’´ede
chellel’oscillatio
de temps de l’osci
et
l’´
echelle
de temps
dequi
l’oscillation
: rtemps
=
1
±
1
4⌧
h
i
h
i
p
p
⌧
1
1
Forces/
L’oscillateur
ih
i
rp
=
1 ± 1 4⌧
! =
1 ± 1 4Q
2
⌧
⌧
4Q1
2
=
1
±
1
4Q
tement
sera
interpr´
e
t´
e
en
fonction
du param`
etre sans
dimension
Q : Q = / corresp
Le comportement
sera
interpr´
e
t´
e
en
fonction
du
⌧
Facteur
de qualité, correspond
au
comportement
critique
car et
ent
dit
“critique”
car
il
s´
e
pare
deux
comportements
distincts
:
un
mouvement
oscillant
1
ension Q : Q = /2 correspond
il sépare deux au
comportements distincts.
omportement
ditsans“critique”
e
pare
deux
com
/ , un comportement amorti
oscillation pour Qcar
< / .il s´
1/2 correspond
m`
e
tre
sans
dimension
Q
:
Q
=
:
un
mouvement
oscillant
et
amorti
pace de repr´esentation tr`es utilis´e en cin´ematique consiste a` porter la vitesse en fonctio
Le mouvement est oscillant et amorti.
1/2, un comportement
our
Q
>
amorti
sans aux
oscill
Les trois comportements illustr´es pr´ec´edemment correspondent
respectivement
trois
ments
distincts
:
un
mouvement
oscillant
et
amo
0.5 et 2.30. Les trajectoires dans l’espace vitesse-position nous donnent :
porter
vitesse en
fonction
de la
Unlaespace
de
repr´
e
sentation
tr`
e
s
utilis´
e
en
c
1/2.
Le mouvement est amorti sans oscillations.
our
Q
<
nt respectivement aux trois valeurs
osition. Les trois comportements illustr´es pr´ec´e
us
donnent
:
ique
consiste
a` porter la vitesse en fonction de

12

(5-50)

2

2

2

[4]

2

def

2

2

2

12

12

un param`etre sans dimension
5-61

Q = ⌧ ! qui indique le rapport entre ⌧ et l’´echelle de temps de l’oscillation :
i
h
i
p
p
1h
1
r=
1 ± 1 4⌧ 2 ! 2 =
1 ± 1 4Q2
⌧
⌧

L’oscillateur harmonique amorti

Le comportement sera interpr´et´e en fonction du param`etre sans dimension Q : Q = 1/2 correspond au
comportement dit “critique” car il s´epare deux comportements distincts : un mouvement oscillant et amorti
pour Q > 1/2, un comportement amorti sans oscillation pour Q < 1/2.
de repr´
tr`es utilis´e enformé
cin´ematique
a` porter la
vitesse en
de la
On utilise aussiUnunespace
espace
deesentation
représentation
par consiste
les variables
vitesse
etfonction
position
position. Les trois comportements illustr´es pr´ec´edemment correspondent respectivement aux trois valeurs
de Q : 0.3, 0.5 et 2.30. Les trajectoires dans l’espace vitesse-position nous donnent :

5-7 L’oscillateur harmonique amorti entretenu

Portrait de phase

Dans beaucoup de situations une force externe p´eriodique agit sur un syst`eme m´ecanique. Un ph´enom`ene

ui
contient
tous
les
ingr´
e
dients
n´
e
cessaires
:
une
force
de
rappel
(donc
contient
tous
les
ingr´
e
dients
n´
e
cessaires
:
une
force
de
rappel
(donc
force de frottement visqueux et une force d’excitation externe up
de
frottement
visqueux
et
une
force
d’excitation
externe
p´
e
riodique.
L’oscillateur
harmonique
amorti
entretenu
e frottement visqueux et une force d’excitation externe p´eriodique.

queux auquel on ajoute une excitation externe est la g´en´eralisatio

auquel
on
ajoute
une
excitation
externe
est
la
g´
e
n´
e
ralisation
simple
r
Pour
illustrer
les
caractéristiques
fondamentales
de
ce
phénomène,
nous
allons
choisir
une
équation
auquel
on ajoute (t)
unesera
excitation
externe
est
la l’´
g´
equation
n´eralisation
simple rec
e l’´
e
longation
alors
d´
e
termin´
e
par
e
:
du mouvement simple qui contient tous les ingrédients nécessaires: une force de rappel (donc une
ongation
sera
alors
etermin´
e parl’´
equation
:
gation
(t)(t)
sera
alors
d´ed´
termin´
e par
el’´
quation
fréquence
naturelle),
une force
de frottement
visqueux
et :une force d’excitation externe
périodique.

2
d
d
2
+
+
k
=
f
cos[⌦t]
m
d
2d
ddt2 + k dt
d
+
f cos[⌦t]
m
2
+
+ k ==
f cos[⌦t]
m

dt
dt2

dt
dt

´elin´
tant
lin´
e
aire
on
peut
donc
avantageusement
passer
a
`
la
repr´
e
sentatio
eaire on peut donc avantageusement passer a` la repr´esentation complex

n´eaire on peut donc avantageusement passer a` la repr´esentation complexe
L’équation
reste
linéaire en la
variable élongation.
Il est utile de passer en représentation complexe
ui
ob´
e
it
a
`
l’´
e
quation
complexifi´
e
e
:
´
e
it
a
`
l’´
e
quation
complexifi´
e
e
:
et
considérer
une
nouvelle
variable
correspondant
à l’équation:
t a` l’´equation complexifi´ee :
2 ˆˆ
ˆ
d
d
d
2dˆ
i⌦t
ˆ
ˆ
i⌦t
ˆ
d
d
m
+
+
k
=
f
e
m
+
+
k
=
f
e
i⌦t
ˆ
2
2
m dt
+ dtdt+ k =dtf e
2
dt
dt
2ˆ

ˆ
ˆ)). chercher
o¨
ıncide
avec
l’´
e
quation
de
d´
e
part
(
=
Re(
)).
On
peut
la
solu
elle
co¨
ıncide
avec
l’´
e
quation
de
d´
e
part
(
=
Re(
On
peut
cherc
Dont
la
partie
réelle
coïncide
avec
l’équation
précédente
ˆ
¨ncide avec l’´equation de d´epart ( = Re( )). On peut chercher la solut

i
ˆ
on
qui
oscille
a
`
la
mˆ
e
me
fr´
e
quence
⌦
que
la
sollicitation
externe,
=
z
e
i⌦
onction
quia`oscille
a
` la
eme fr´
⌦ que la sollicitation
qui oscille
la mˆeme
fr´emˆ
quence
⌦equence
que la sollicitation
externe, ˆ =extern
ze
.2
On
obtient
alors
une
´
e
quation
alg´
e
brique
pour
z
:
e. zOn
.
On
obtient
alors
une
´
e
quation
alg´
e
brique
obtient alors une ´equation alg´ebrique pour z : pour z :

L’´equation ´etant lin´eaire on peut donc avantageusement passer a` la repr
ob´
eiteaire
a` l’´eon
quation
complexifi´
d2 ee : d
t lin´
peut
donc
avantageusement
passer
a` la repr´esentation comple
ˆ
+
+
k
=
f
cos[⌦t]
m
une variable qui ob´eit a` l’´
equation
ee :
2
dt
dt complexifi´
2ˆ
d
L’oscillateur
harmonique
amorti
entretenu
b´eit a` l’´
equation complexifi´
e
e
:
2ˆ
ˆ
d
d
5-63
m
+
´equation ´etant lin´eaire on peut donc avantageusementˆpasser
` la
repr´
esentation complexe
et
cons
i⌦t
2ˆ a
ˆ
2
m 2 +
+ k d= f e d
i⌦t
dt
m 2 +
+k ˆ=f e
2dt
dt
ˆ
riable ˆ qui ob´eit a` l’´equationdcomplexifi´
edeˆ
:
i⌦t dt
dt
ˆ
m 2 +
+k =f e
dt d2 ˆ dt d ˆ
i⌦tˆ)). On peut chercher la
ˆ
e co¨ıncide
avec
l’´
e
quation
de
d´
e
part
(
=
Re(
m r´
+elle
+
k ıncide
= f de
e d´
ˆ)). On
dont
la
partie
e
co¨
avec
l’´
e
quation
de
2
dont
la
partie
r´
e
elle
co¨
ıncide
avec
l’´
e
quation
e
part
(
=
Re(
p
dt
dt
ˆ
On
cherche
une
solution
périodique
de
même
allure
que
le
forçage
périodique:
hercher
la
solution
(t)
sous
ˆ =so
ˆ)).
ction
qui
oscille
a
`
la
mˆ
e
me
fr´
e
quence
⌦
que
la
sollicitation
externe,
co¨
ıncide
avec
l’´
e
quation
de
d´
e
part
(
=
Re(
On
peut
chercher
la
apartie
forme
d’une
fonction
qui oscille
a`part
la (mˆ
equi
me
fr´
equence
⌦a
que
lalasollicitati
ˆ)).
ˆ(t
r´eelle
co¨
ıncide
avec
l’´
e
quation
de
d´
e
=
Re(
On
peut
chercher
solution
la
forme
d’une
fonction
oscille
`
la
mˆ
e
me
fr´
e
i⌦t
ˆ
où
z est
un ⌦
nombre
complexe.
ˆ
terne,
=
z
e
o`
u
z
est
un
znombre
2
.
On
obtient
alors
une
´
e
quation
alg´
e
brique
pour
z
:
ion
qui
oscille
a
`
la
mˆ
e
me
fr´
e
quence
que
la
sollicitation
externe,
=
z
i⌦t
ˆ = z epour
complexe
z 2 a` la. mˆ
On
´equationexterne,
alg´ebrique
e d’une fonction
qui oscille
emeobtient
fr´equencealors
⌦ queune
la sollicitation
o`
u zz

nombre complexe z 2

. On obtient
une
´
e
z : alors
◆

✓ ´eune
◆ pour
. Onz obtient
alors une
quation
eebrique
pour
e2complexe
2 . On obtient
alors
´equationalg´
alg´
brique
z:
✓

⌦
f ⌦
f f
1
2
◆ =2
2=
+ i ⌦ + zk =m⌦
f 2 +!i ⌦
z✓+ k =+f i ⌦!
+ !z◆
!
z
⌦
+
i
= 1(!✓
+
!
f m
f
2 !⌦2
2
2
2
⌧
m
⌦i + !2 = f ! z⌧ =
f 2m i 1
z m⌦ + i ⌦ + k = f ! z 2 ⌦ +
2
+
f i ⌦ + k =1 f ! z ⌦ + 2i ⌧ ⌧+ ! = mm ! zm=(!m ⌦ )2+ ⌧ ⌦ 2
5-64
z
m⌦
+
i
⌦
+
k
=
f
!
(!z ⌦ ⌦
)
iedonn´
2
2
t`
eme
est
donc
donn´
e par
:donc
onse
du
syst`
e
me
est
donc
ee par
: donn´
m
La
r´
e
ponse
du
syst`
e
est
ee par :
⌦
(!
⌦ ) + ⌧me
`eme est donc donn´
ee par :1
f
1 1
ff
i⌦t
i⇠!t
ˆ=
f
1
e
=
e
f
1
1
f
i⌦t
i⇠!t
ˆ=
i⌦t
i
2
2
2
2
e = m! 2(1 ⇠ )e+2i⇠/Q
e
m (! ˆ⌦=)i+ ⌧ ⌦
=
2
2
i donc
La
eponse
syst`
donn´
e
par
2 e(1
2 ) :+ i⇠
2 eme
2 ) est
m r´
m!
(1
⇠
)
+
i⇠/Q
(!
⌦ ) +du
⌦
m
m!
⇠
f
1
1
f
(!
⌦
+
⌦
⌧
i⌦t
i⇠!t
⌧
ˆ=
e
=
e
⌧ = Q et ⌦ = ⇠!. Pour
de l’amplitude
complexe z et de sa d´epen
i le sens physique
2
2
2
m (! 2 comprendre
m!
(1
⇠
)
+
i⇠/Q
⌦ )+ ⌧⌦
r´
equence
externe
⌦, ⌦
repr´
dans
lephysique
plan complexe.
Une
norme ⇢ etcomplexe
une
phase zsont
=
⇠!.!⌧Pour
le sens
de
l’amplitude
et
avec
= Q comprendre
et
=esentons-la
⇠!. Pour
comprendre
le sens
de 1
l’amplitude
i⇠!t
fphysique
✓
⌦2

ˆ

(!z = ⌦
f complexe
1z 2+ i. ⌦On+obtient
z m⌦
k = f alors
!une
z ´equation
⌦ + ialg´+
!⌧ =
ombre
ebrique
pour z : !m
⌧
m
m (
i
2
2
✓
◆
m (!
⌦
⌦
)
+
⌦
f
f
⌧e par :
t`
e
me
est
donc
donn´
e
2
2
2
La r´r´
ponse
dusyst`
syst`
eme
e⌦e: par
z du
m⌦
+
⌦
+
= fdonc
!donn´
+i : +! =
! z=
La
eeponse
eime
estkest
donc
donn´
eze par
⌧
m
m (! 2

L’oscillateur harmonique amorti entretenu

f
1 f f i⌦t1 1f i⌦t i⌦tf1
1
1
f
1
i⇠!t
ˆ
i⇠!
ˆdonc
ˆ =donn´
i⇠!t
e
=
e
a r´eponse=du syst`eme
est
e
par
:
=
e
=
e
e
=
i
2
2
i
2 (1
2 ) + i⇠/Q
2
2
2
2
i
e
2
2 ) + i⇠
2
2
m
m!
(1
⇠
)
+
i⇠/Q
m
m!
⇠
(!
⌦
)
+
⌦
(!
⌦
)
+
⌦
m
m!
(1
⇠
(!
⌦
)
+
⌦
⌧
2
⌧
⌧
⇠ ) + i⇠/Q
f
1
1
f
i⌦t
i⇠!t

ˆ=
esens=physique
e comple
i⇠!t
i
2
2
2
2
vec
!⌧
=
Q
et
⌦
=
⇠!.
Pour
comprendre
le
de
l’amplitude
e ⇠!.!⌧Pour
m! physique
(1 ⇠ ) complexe
+de
i⇠/Q
⌦physique
)+ ⌧⌦
=
le(!sens
de
l’amplitude
z et
avec
= Q comprendre
et ⌦ = ⇠!.mPour
comprendre
le sens
l’amplitude
n la
fr´ecomprendre
quence externe
⌦, repr´de
esentons-la
dans le plan
complexe.
Une
norme
⇢ et
Pour
le
sens
physique
l’amplitude
complexe
et
de
sa
dépendance
en
la
fréquence
erne
⌦,
repr´
esentons-la
dans
le
plan
complexe.
norme
⇢complexe
et Une
une no
ph
en
la
repr´
esentons-la
dans le Une
plan
complexe.
vec
!⌧ fr´
=equence
Q
et ⌦
=externe
⇠!. Pour⌦,
comprendre
le sens
physique
de
l’amplitude
ze
on la représente dans le plan complexe.
arexterne
:
par
n
la :fr´equence externe ⌦, repr´esentons-la dans le plan complexe. Une norme ⇢ et une
mplexe
z et de sa d´ependance
On défini une norme:
f
1
f
def
ar :et une phase:
i
z
=
=
⇢
e
f def
1 i m!def
f
fsont d´
1m! 2 (1
2 ) +fi⇠/Q
2
i
⇠
⇢ et une phase
e
finis
z
=
=
⇢
e
z=
=
⇢
e
2
2
2
f
1
f
def
i
m! (1 m!
⇠ 2)=+ i⇠/Q
m!
m! 2 (1z = ⇠ 2 ) + i⇠/Q
⇢e
2
2
2
m! (1 1 ⇠ ) + i⇠/Q
m!
1 ⇠
2
⇢ =
tan =
2
2
2
21
1
(1
⇠
)
+
(⇠/Q)
Q
1
⇠
1 ⇢2 = 1
1 ⇠1tan⇠ =
2
2
i⇢ =
=tan 2 =
2tan
2 + (⇠/Q)
⇢
=
2
2
2
2
(1
⇠
)
Q 1⌦
2 )2du
2 ⇠ entreQ
2externe
(1
⇠
)
+
(⇠/Q)
1
⇠
Analysons
le
comportement
en
fonction
rapport
la
fr´
e
quence
(1
⇠
+
(⇠/Q)
Q
1
⇠
2

amplitude complexe z et de sa d´ependance

. Une norme ⇢ et une phase

sont d´efinis

f
⇢e
m!
• si ⇠ ! 0 c’est-`
a-dire que la fr´equence externe est tr`es petite par rapport a` l

Analysons
le comportement
en fonction
dula⇠rapport
laexterne
fr´e⌦quence
exe
nalysons le en
comportement
en rapport
fonction
du
entre
la ⇠fr´eentre
quence
et fr´
la
ortement
fonction du
⇠ rapport
entre
fr´equence
externe
et⌦la
ais´
ment
quelaque
: fr´
tan
!equence
0externe
doncest
!
et ⇢tr`
!
1.
La r´epar
• •sion
⇠ obtient
!
0 c’est-`
ae-dire
que
equence
tr`es0 petite
par
rapport
a`ponse
la rap
fr´eeq
si
⇠
!
0
c’est-`
a
-dire
la
fr´
externe
est
e
s
petite
-`
a-dire que la fr´equence externe est tr`es petite par rapport a` la fr´eque

1

⇠

on
obtientleais´
ement
que : tan
! 0 donc
! 0 et ⇢et!l’amplitude
1. La r´eponse
en
externe,
d´
placement
accompagne
la sollicitation,
tendestvers

furavec
=
⇢
e
i
comprendre
le ⌦
sens
physique
de l’amplitude
complexe
z de
et l’amplitude
de sa d´ependance
!⌧
=
Q
et
=
⇠!.
Pour
comprendre
le
sens
physique
complexe
2
2
⇢
e
our2⇠
comprendre
le
sens
physique
de
l’amplitude
complexe
z
e
)
+
i⇠/Q
m!
par
:
our
comprendre
le
sens
physique
de
l’amplitude
complexe
z
et
d
en
la
fr´
e
quence
externe
⌦,
repr´
e
sentons-la
dans
le
plan
complexe.
Une
norme
⇢
et
u
epr´
e
sentons-la
dans
le
plan
complexe.
Une
norme
⇢
et
une
phase
sont
d´
e
finis
s physique
de
l’amplitude
complexe
z
et
de
sa
d´
e
pendance
!
L’oscillateur harmonique amorti entretenu
repr´esentons-la dans le plan complexe. Une norme ⇢ et une p

par :esentons-la dans le plan complexe. Une norme ⇢ et une ph
repr´
e plan complexe. Une norme ⇢ et une phase sont
d´
e
finis
f

z
=
1 ⇠m! (1 ⇠ 2
1 ⇠
=
=
f 2 tan
1
def f f
i
f
1
def
1
1
⇠
i
z
=
=
⇢
e
2
2
2
Q
1
⇠
1
f
1 2
1 =⇠
def
z
=
etan = ⇠
⇢
=
2
2⇢ 1
2
i
(⇠/Q)
Q
2
2
2
m!
(1
⇠
)
+
i⇠/Q
m!
2
2
2
⇢ =
tan
=
(1
⇠ ) + (⇠/Q)
Q 1 1⇠ 2
=
⇢
e
m!
(1
⇠
)
+
i⇠/Q
m!
2
2
2
2
⇠
)
+
(⇠/Q)
Q
1
⇠
2 ) + (1
2
2
i⇠/Q
m!
= la fr´equence2 externe
Analysons le comportement en fonction du rapport⇢⇠ entre
⌦ et
2
en fonction externe
du rapport ⇠ entre
laet
fr´equence
externe
⌦ et la(1
fr´einterne
quence
interne
!.
uence
⌦
la
fr´
e
quence
!.
⇠
)
+
(⇠/
11 que la fr´equence externe est tr`
1es1petite
⇠ ⇠ par rapport a` la f
•2si ⇠ ! 0 c’est-`a-dire
f
z=
m! 2 (1

f
1
f
def
i
z=
=
⇢
e
2 (1
m!
2
2
⇠ ) + i⇠/Q
m!

1
f
def
i
=
⇢
e
⇠ 2 ) + i⇠/Q
m! 2 2

port
la
fr´
e
quence
externe
⌦
e
tan
=
e la⇢
quence
externe
est
tr`
e
s
petite
par
rapport
a
`
la
fr´
e
quence
interne,
alors
⇢fr´e=
= ⇠ entre
tan
=
1
⇠
2 +que
(1 ais´
⇠ 2e)ment
(⇠/Q)
obtient
: tan2 ! 0 donc ! 0 Q
et ⇢1 ! 1.⇠ 2La r´eponse est
ce oninterne
!.
2

2 )=
2 + (⇠/Q)2
2
(1
⇠
Q
1
⇠
tan
Analysons
le
comportement
en
fonction
du
rappor
2
2
:
tan
!
0
donc
!
0
et
⇢
!
1.
La
r´
e
ponse
est
en
phase
avec
le
signal
par
rapport
a
`
la
fr´
e
quence
interne,
alors
/Q) externe, le d´eplacement
Qaccompagne
1 ⇠ la sollicitation, et l’amplitude tend
vers f /
2
ttaccompagne
en
du rapport
rapport
⇠
entre
la
fr´
e
quence
externe
⌦
et
la
f
en• fonction
du
⇠
entre
la
fr´
e
quence
externe
⌦
et
la
fr´
e
la sollicitation,
et l’amplitude
tend
vers
f /(m!
)
La fréquence
interne
est beaucoup
plus
grandedeque
laexterne
si
⇠ cas:
!
1 ⇠, c’est-`
a0
-dire
que
la a
fr´e-dire
quence
externe
⌦ se fr´
rapproche
la fr´
equence in
Premier
•
si
!
c’est-`
que
la
e
quence
rt
⇠
entre
la
fr´
e
quence
externe
⌦
et
la
fr´
e
quence
interne
!.
fréquence
externe
1.
La
r´
e
ponse
est
en
phase
avec
le
signal
ue
fr´equence
externe
⌦ se rapproche
de
lapetite
fr´equence
interne
! mais
en
restant
uelala
fr´
e
quence
externe
est
tr`
e
s
petite
par
rapport
a
`
eetqu
que
la
quence
externe
est
tr`
e
s
par
rapport
a
`
la
fr´
efr´
que
plus petite qu’elle ⌦ < !. On obtient alors tan ! 1 donc ! la
⇡/2
⇢
!. est
Ond´eobtient
alors
tan
!
donc
!
⇡/2
et ⇢ !
Q.
La
r´eponse
ne
tr`
eseepetite
parau
rapport
a
` que
la
fr´
equence
interne,
alors
on
obtient
ais´
e1ment
:
tan
!
0
donc
2est
phas´
par
rapport
signal
externe
et
l’amplitude
tend
vers
Q·f
/(m!
) ph
2⇢!!1.
ue
:
!
0
donc
!
0
et
⇢
La
r´
e
ponse
est
en
ue
:
tan
donc
!
0
et
1.
La
r´
e
ponse
est
en
p
2
tend
vers
f
/(m!
)
+ et l’amplitude
uitude
signal
externe
tend
vers
Q·f
/(m!
) se rapproche de la fr´equence in
•
si
⇠
!
1
,
c’est-`
a
-dire
que
la
fr´
e
quence
externe
⌦
!
0
et
⇢
!
1.
La
r´
e
ponse
est
en
phase
avec
le
signal
2
externe,
le
d´
e
placement
accompagne
la
sollicit
La
réponse
est
en
phase
avec
le
signal
externe,
le
déplacement
accompagne
la
nt
accompagne
la
sollicitation,
et
l’amplitude
tend
vers
f
/(m!
)
t accompagne
la
sollicitation,
et
l’amplitude
tend
vers
f
/(m!
ue
la
fr´
e
quence
externe
⌦
se
rapproche
de
la
fr´
e
quence
interne
!
mais
en
restant
plus grande
qu’elle
⌦>
!. On obtient alors tan 2 ! +1 donc ! +⇡/2 et ⇢
sollicitation
et l’amplitude
tends
vers:
itation,
et
l’amplitude
tend
vers
f
/(m!
)
eque
de
la
fr´
e
quence
interne
!
mais
en
restant
!.
On
obtient
alors
tan
!
+1
donc
!
+⇡/2
et
⇢
!
Q.
La
eponse
est
que la
la
fr´
quence
⌦⌦ause
rapproche
dedela
efois
quence
interne
encore
d´
par
externe
cette
de r´
⇡/2.
L’amplit
• fr´
sieequence
⇠ephas´
!ee1externe
,rapport
c’est-`
asesignal
-dire
que mais
la
fr´
efr´
quence
extern
externe
rapproche
la
fr´
equence
intern

rne est tr`es petite par rapport a` la

nterne, alors

c

!0

et ⇢ ! 1. La r´eponse es

avec le signal

icitation, et l’amplitude tend vers f