Me6.2 oscillateur amorti suite .pdf



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2et
2 Une !.
en la ⇠fr´entre
equence
externe
repr´
e2sentons-la
dans
lefr´
plan
complexe.
norme ⇢ et u
pport
fr´equence
externe

la
e
quence
interne
m!
(1

)
+
i⇠/Q
m!
r comprendre
le sensla
physique
de⌦,
l’amplitude
complexe
z
et
de
sa

e
pendance
on obtient ais´ement que : tan ! 0

1 par
1

!
0
et

!
1.
La

e
ponse
est
phase
avec le!sign
on
obtient
ais´
e
ment
que
tanen
0 donc
0
:
pr´esentons-la
dans le plan
complexe.
Une norme ⇢ et
une :phase
sont!

efinis
tan
=
terne
est
tr`
e
s
petite
par
rapport
a
`
la
fr´
e
quence
interne,
alors
2
2
L’oscillateur
harmonique
amorti
entretenu
+ (⇠/Q)
Qexterne,
11 ⇠ le d´eplacement
accompagne
la
1

2
2
externe,
le d´
eplacement
accompagne
lalefsollicitation,
e
fvers
1 tanavec
itation,
et
l’amplitude
tend
f
/(m!
)
def
i
=
onc !f 0 et 1⇢⇢ !=1.
La

e
ponse
est
en
phase
signal
z2 =
=
⇢e
2
2
2
f
def
2
2
2
i
(1

)
+
(⇠/Q)
Q
1


si

!
1
,
c’est-`
a
-dire
que
la
fr´
e
quence
m! (1⌦ et
⇠ ) la
+ i⇠/Q
m! interne !.
rapport
⇠2 entre
la fr´
equence
fr´
e
quence
z=
=
⇢ e externe
2
2
2
m!• (1si
)!
+ i⇠/Q
m!
1 ,de
c’est-`
afr´
-dire
que
lainterne
fr´
externe
se r
ollicitation,
et⇠⇠l’amplitude
tend
f /(m!
)equence
ne
⌦ se
rapproche
la
evers
quence
! mais
en ⌦
resta
plus
petite
qu’elle
⌦equence
< interne,
!. On
obtient
omportement
en
fonction
du
rapport
⇠ la
entre
la fr´
externe

externe
est
tr`
e
s
petite
par
rapport
a
`
fr´
e
quence
alors
1
1

1
1

2
plus
petite
qu’elle

<
!.
On
obtient
alors
tan
!
⇢fr´
=
tanen =
xterne

se
rapproche
la
e
quence
interne
!
mais
restant
⇢2 =
tande=
2
2
2
2
2
2
2
2
tan
1
donc
et

!
Q.
La

e
ponse
e
(1 ⇠!
) + (⇠/Q)
Q!
1 ⇠(1 ⇡/2

)
+
(⇠/Q)
Q
1

c’est-`
equence
es petite
par
rapport
a
` la
d´eexterne
phas´
ee est
par
rapport
signal
extern
donc a-dire
! 0queetla⇢fr´
!
1. La
r´eponse
esttr`
en
phaseau
avec
le signal
ors
tandu rapport
!
1
donc
!
⇡/2⌦du
et
⇢fr´
Q.
La la
r´efr´
ponse
est
en
fonction
⇠ entre
fr´equence
externe
et
larapport
e!
quence
!.

phas´
eela par
rapport
au
signal
externe
et l’amplitud
Analysons
leecomportement
en
fonction
⇠ interne
entre
equence
externe ⌦ e
2+
2
mplitude
tend
/(m!
tesollicitation,
ais´
mentexterne
que
: tan
!Q·f
0rapport
donc
!
0/(m!
et
⇢alors
! que
1. La

eeponse
es

si

!
,
c’est-`
a
-dire
la
fr´
quence
la
fr´eequence
est
tr`evers
s petite
par
a` la1
fr´e)
quence
interne,
et
l’amplitude
tend
vers
f
)
2
+ que
t l’amplitude
vers
Q·f
/(m!
)externe
La fréquence
se
rapproche
la externe
fréquence
• si ⇠•cas:
!si0 ⇠tend
c’est-`
a1
-dire
la
fr´
equence
externe
est
tr`es de
petite
par rapport
a` lar
Troisième
!
,
c’est-`
a
-dire
que
la
fr´
e
quence

se
: tan ! 0 donc ! 0 et ⇢ ! interne
1. La r´mais
eponse
est
en phase
avec le signal
en
restant
plus
grande:
eexterne
d´e⌦
placement
accompagne
la
sollicitation,
et 0l’amplitude
tend
versestf
ne
se
rapproche
de
la
fr´
e
quence
interne
!
mais
en
resta
plus
grande
qu’elle

>
!.
On
obtien

se
rapproche
de
la
fr´
e
quence
interne
!
mais
en
restant
on
obtient
ais´
e
ment
que
:
tan
!
0
donc
!
et

!
1.
La

e
ponse
2
xterne
⌦ se
rapproche
de la fr´
equence
interne
! mais en restant
accompagne
la sollicitation,
et l’amplitude
tend
vers f /(m!
)
plus
grande
qu’elle

>
!.
On
obtient
alors
tan
!
a-dire
que
la
fr´
equence

rapproche
der´la
fr´
equence
externe,
le d´
placement
accompagne
laesollicitation,
et l’amplitude
tend
vers
f/
uec’est-`
la fr´equence
externe
⌦ese
rapproche
de
la fr´eexterne
quence interne
!se
mais
en restant
encore

phas´
e
e
par
rapport
au
signal
alors
tan
!
1
donc
!
⇡/2
et

!
Q.
La
e
ponse
est
lors
tan !!+1
+1 donc
donc !!
+⇡/2
et ⇢ et
!⇢
Q.!
LaQ.
r´eponse
est
tan
+⇡/2
La

e
ponse
e
!. On•obtient
alors
tan
!d´
1
donc
!fr´
⇡/2
et
⇢!
Q. La au
r´eponse
est
encore
e
phas´
e
e
par
rapport
signal
externe
maiset
si

!
1
,
c’est-`
a
-dire
que
la
e
quence
externe

se
rapproche
de !
la fr´equence
in
e
qu’elle

<
!.
On
obtient
alors
tan
!
1
donc
⇡/2
2
2
2
xterne
mais
fois
de
⇡/2.
L’amplitude
tend
toujours
vers
et
l’amplitude
tend
vers
Q·f
/(m!
)
Q·f
/(m!
)
signal
externe
et cette
l’amplitude
tend
vers
Q·f
/(m!
)
ne
mais
cette
fois
L’amplitude
toujours
ve
plus petite
qu’elle

< !.⇡/2.
On obtient
alors tan ! tend
1 donc
! ⇡/2
et
2 de
2
Q·f
)externe
ue
la fr´
equenceest
externe
se par
rapproche
deaulasignal
fr´equence
interne
! mais entend
restant
par
rapport
au⌦/(m!
signal
etexterne
l’amplitude
vers Q·f /(m!2 )
La
réponse
déphasée
rapport
et l’amplitude
tends vers:
externe

se
rapproche
de
la
fr´
e
quence
interne
!
mais
en
restant

e
phas´
e
e
par
rapport
au
signal
externe
et
l’amplitude
tend
vers
Q·f
/(m! )
!. On obtient alors tan ! +1 donc ! +⇡/2 et ⇢ ! Q. La r´eponse est
c’est-`
a-dire
equence
externe
⌦tend
se toujours
rapproche
dede
lalafr´
eequence
+que la fr´

si

!
1
,
c’est-`
a
-dire
que
la
fr´
e
quence
externe

se
rapproche
fr´
quence
in
port
au
signal
externe
mais
cette
fois
de
⇡/2.
L’amplitude
vers
alors tan ! +1 donc
!
+⇡/2
et

!
Q.
La

e
ponse
est
Forces/ L’oscillateur harmonique entretenu 81
plus grande
qu’elle
> !. Onalors
obtienttan
alors !
tan +1
! +1
donc !
!+⇡/2
+⇡/2 ete
de qu’elle
⌦ > !.
On⌦obtient
donc
externe
mais
cette
fois
de
⇡/2.
L’amplitude
tend
toujours
vers
Forces/
L’oscillateur
harmonique
entretenu
d´ephas´ee par
signal harmonique
externe
mais cette
fois
⇡/2. L’amp
L’ampli
Forces/ au
L’oscillateur
81
phas´eeencore
par rapport
au rapport
signal
externe
mais entretenu
cette
fois
dede⇡/2.

2

)

Q·f /(m! 2 )

en la fr´equence
externede⌦,l’amplitude
repr´esentons-la
complexe.
r comprendre
le sens physique
complexe dans
z et delesaplan
d´ependance

:
pr´epar
sentons-la
dans le plan complexe. Une norme ⇢ et une phase

Une norme ⇢ et u

sont d´efinis

L’oscillateur harmonique amorti entretenu

z=
⇢ =
2

(1

f
m! 2 (1

f
z=
f
2 (1
i
m!

e
2

1
def
=
2
⇠ ) + i⇠/Q
m!

1
⇠ 2 )2 + (⇠/Q)2

tan

12 ⇠

= 2
=
Q 1 ⇠(1

1
f
def
i
=

e
⇠ 2 ) + i⇠/Q
m! 2

1
⇠ 2 )2 + (⇠/Q)2

tan

en fonction
du rapport
⇠ entre la fr´equence
externe ⌦du
et larapport
fr´equence⇠ interne
!.
Analysons
le comportement
en fonction
entre la

=

1 ⇠
Q 1 ⇠2

fr´equence externe ⌦ e

e la fr´equence externe est tr`es petiteLa
parfréquence
rapport a`externe
la fr´equence
interne,
alors
est
très
grande
rapport
la
• si ⇠ !
a-dire que la fr´equence externe est tr`es par
petite
par àrapport
Quatrième
cas:0 c’est-`
: tan ! 0 donc ! 0 et ⇢ ! fréquence
1. La r´eponse
est en phase avec le signal
interne

a` lat
• enfin si ⇠ ! 1, c’est-`
a-dire que la fr´equence externe est
obtient
ais´
ement
que
: tan
!la
0la
donc
etexterne
⇢ ! 1. La
r´eponse
2e
fin
⇠!
!
1,c’est-`
c’est-`
a-dire
-dire
que
fr´
est
tr`
essest
g
naccompagne
sisialors
⇠on
1,
a
que
fr´
e
quence
est
tr`
e
g
la
sollicitation,
et l’amplitude
tend
vers
f /(m!
) quence
+
+! 0 externe
: tan ! 0 donc
! 0 et ⇢ ! 0. La r´epon
externe,
le d´
placement
accompagne
la+sollicitation,
et l’amplitude tend vers f /
ue la fr´equence
externe
⌦ese
rapproche
de
la fr´equence interne
! mais en restant
+
+
+
tan !
!
0tend
donc
!
0
et

!
0.
La

e
ponse
e
srs:On: l’amplitude
tan
donc
!
0
et

!
0.
La

e
ponse
e
!.
obtient alors
tan 0 !
1 donc
!
⇡/2
et

!
Q.
La

e
ponse
est
vers 0, c’est-`
a-dire que le syst`eme ne r´ea

• si ⇠ ! 1 , c’est-`a-dire que la fr´equence externe ⌦ se rapproche de la fr´equence in

mplitude
tend
vers
0,
c’est-`
a
-dire
que
le
syst`
e
me
ne

e
agit
plus est
petite
qu’elle

< c’est-`
!.
On
obtient
alors
tan
!
1
donc
!r´
⇡/2
etp
mplitude
tend
vers
0,
a
-dire
que
le
syst`
e
me
ne
e
agit
La
réponse
en
phase
par
rapport
au
signal
externe
mais
l’amplitude
tends
vers
ue la fr´equence externe ⌦ se rapproche de la fr´equence interne ! mais en restant
2
zéro. Led´
système
nepar
répond
plus àau
la est
sollicitation
externe.
L’amplitude
maximale
atteinte
a
`
la

e
sonance

e
finie
par
e
phas´
e
e
rapport
signal
externe
et
l’amplitude
tend
vers
Q·f
/(m!
) u
!. On obtient alors tan ! +1 donc ! +⇡/2 et ⇢ ! Q. La r´eponse est
+

si

!
1
, c’est-`
acette
-dire
que
fr´eL’amplitude
quence
externe
⌦ se rapproche
depar
la
fr´equence
in
port
au
signal
externe
mais
fois
de la
⇡/2.
tend
toujours
vers
itude
maximale
est
atteinte
a
`
la

e
sonance

e
finie
par
une
v
ude
maximale
est
atteinte
a
`
la

e
sonance

e
finie
une
va
⇢:
signal externe et l’amplitude tend vers Q·f /(m! 2 )

plus grande qu’elle ⌦ > !. On obtient alors tan

! +1 donc

! +⇡/2 et

encore d´ephas´ee par rapport
signal harmonique
externe entretenu
mais cette
fois de ⇡/2. L’ampli
Forces/ au
L’oscillateur
81
Q·f /(m! 2 )

2 Q2 1
⇢(⇠r ) = p
⇠+r = p
4Q2 avec
1 le signal externe mais
! 0 et ⇢2Q
! 0. La r´eponse est en phase

! 0 ! et
⇢ ! 0. La r´eponse est en phase avec le signal
0+ donc

rs : tan

+

L’oscillateur
amorti
entretenuexterne.
st-`
a-dire
que le syst`eharmonique
me ne r´eagit plus
a` l’excitation

mplitude tend vers 0, c’est-`
a-dire que le syst`eme ne r´eagit plus a
` l’excitation externe.

2Q pour ⇠, ⇠r qui maximise l’amplitude
1la p
tude
maximale
est
atteinte
a
`

e
sonance

e
finie
par
une
valeur
2
elations qui pour des⇠grands
2 Qde qualit´
1 eQ
⇢(⇠deviennent
r) = p :
r = p facteurs
2

2Q
4Q2 1
est atteinte
à la résonance
définie
pour despour
valeurs ⇠,
teL’amplitude
a` la r´emaximale
sonance
d´efinie
par une
valeur
qui maximise l’amplitude :

1
1
Qp1
⇠r ! 1
⇢r 2! Q +
2
8Q
2Q
i pour des grands facteurs de 1qualit´e Q2 deviennent4Q
:
2Q
1
⇢(⇠r ) = p
⇠r = p
2Q
4Q2 1

1dents :
1
Illustrons graphiquement
les

e
sultats
pr´
e

e
Q
1
⇠r ! 1
⇢r ! Q +2
2
s qui pour des grands facteurs de qualit´e Q deviennent
:
4Q
8Q
2
1r ) Un comportement temporel typique procher de la r´esonance :

1 p
2Q
1
⇠ = p
2Q
Comportement
proche

2Q

⇢(⇠ ) = p
4Q2

de la résonance:
1
Q
1 pr´ec´
⇠erdents
!1 :
ns graphiquement les r´esultats
4Q2

1

1
⇢r ! Q +
8Q

mportement temporel typique proche de la r´esonance :

cteurs de qualit´e Q deviennent :

ustrons graphiquement les r´esultats pr´ec´edents :

comportement temporel typique proche de la r´esonance :

⇠r qui maximis

L’oscillateur harmonique amorti entretenu
L’amplitude en fonction
de la fréquence relative
différentes valeurs
2pour
) l’amplitude
⇢ en fonction de la fr´equence relative ⇠ pour di↵´erents Q :
de Q

3 ) la phase

en fonction de la fr´equence relative ⇠ pour di↵´erents Q :

Forces/ L’oscillateur har

L’oscillateur harmonique amorti entretenu
La phase en fonction de
la fréquence relative pour
différentes valeurs de Q

Illustration exceptionnelle du ph´enom`ene de r´esonance : le 7 novembre 19

x : est l’allongement
l-lo où lo est la longeur à vide du ressort
peson ou
dynamomètre

O considérant
O l’écartement
Oinitial
O
ibre.
Ende
que
se faitalors
selon
ver
au
niveau
la positionOd’équilibre.
La cote z du point
M correspond
à sonlaécart
on ud’équilibre.
En
considérant
que
l’écartement
initial
seeqfait
selon
la 0verticale, le mo
!
!
rticale,
soit
:
BCPST1
Fénelon
m!
g
+
F
=
0

mg

k
(L

L
)
=
CPST1
Fénelon
u
u
u
u
0
z
z
z
z
z
selon
la verticale,
soit : Nicolas Clatin 2007
las Clatin
2007

O
O



−−

!!
O
z !uz
z !
O MM==
uz
Leq
uz
uz Fénelon
uz
!v = z˙ !uzBCPST1
!v = zNicolas
˙ !uz Clatin 2007
!a = z¨ !uz
F
F
F
F
La
méthode
consiste à raison
!a =première
z¨ !uz
L0
la
dynamique.
En
un
point
M
quelconque
O'
O'
ère méthode consiste
à raisonner sur les forces,
z
z c’est-à-dire à appliquer le principe fond
Leq+ z − L , z étant algébrique. Le
e. En un point M quelconque deest
coteL
z eq
(par
rapport à0 la cote à l’équilibre), l’allongemen
M droitsmgréservés: http://creativecommons.org/licenses/
M
Certains
mg
−de
L0 consiste
, z étant algébrique.
Le mouvement
etforces,
toutes les
forces raisonner
étant uniquement
suivant
à
raisonner
sur
les
c’est-à-dire
à
appliquer
le
on
peut
directement
en
project
Disponible gratuitement: http://campus.claroline.net/claroline/course
tement raisonner en projection.
mg
mg
oint
M
quelconque
de
cote
z
(par
rapport
à la cote à l’équilibre)
ns droits réservés
certains droits réservés
F quelconque
être
vendu
nutd'équilibre
position
quelconque
ne
peutd'équilibre
pas être vendu
F m¨
ressort
à vide
position
position
!
!
ntpasalgébrique.
Le
mouvement
et
toutes
forces
étant
uniquem
m!
a
g
+
F

z=
m!a = m!g + F ⇒ m¨
z = mg − k (Leq + z − L0 ) =les
mg

k=
(Lm!

L
)

kz
eq
0
isonner
en
projection.
d’équilibre,
exemple
en la d’équilibre,
tirant légèrement
vers leO'en la tirant légèrement vers le
ant
la masse par
m de
sa position
par exemple
L0

O

z
ent.
est commode
choisir
unecette
origine se
des
nt laIldifférentielle
relation
à l’équilibre
(25),
simplifie,
il reste :origine des
ation
dudemouvement.
Ilnouvelle
estexpression
commode
de
choisir uneetnouvelle
k
En
utilisant
la
relation
à
l’équilibre
(2
te
z
du
point
M
correspond
alors
à
son
écart
par
rapport
de la position!d’équilibre. La cote z du pointm¨
Mzcorrespond
alors
à
son
écart
par
rapport
M
z
=
0
+
kz
=
0

z
¨
+
mg
=
m!
g
+
F


z
=
mg

k
(L
+
z

L
)
=
mg

k
(L

L
eq
0
eq
0
tement
initial
se
fait
selon
la
verticale,
le
mouvement
est
ibre. En considérant que l’écartement initial se fait selon la verticale, le mouvement
est
m
rticale, soit :
mg
PST1 – Nicolas Clatin – septembre 2007 – Mécanique chapitre 8 : équilibre et oscillateur harmonique – page

certains droits réservés

Le potentiel à une forme de parabole

ation,
on
déduit
l’équation
différentielle
vérifiée
par
le
paramè
Disponible
gratuitement:
http://campus.claroline.net/claroline/course/index.php?cid=NC0
on les
deux vecteurs
de base
!u et !u .
r

θ

problème. Soit la base locale (O, "u , "u ). O

BCPST1 Fénelon
!
r
θ
Nicolas
Clatin
2 2007
˙
g

mL
θ
=
mg
cos
θ

T
uθ m!a = m!
! ⇒θ¨ +
sin
θ
=
0
g
+
T
O
circulaire:
L θ¨ = −mg Mouvement
mL
sin θ
−−→
ur
coordonnées polaires
OM = L!ur
de
déduit l’équation
différentielle
vérifiée
par le paramètre
θ:
aurelation,
même on
résultat
par
un
raisonnement
énergétique.
L’énergie
˙
!v = Lθ !uθ
T
θ
˙2 !ur2 + Lθ¨ !uθ 2 2
g
!a =
−L
θ
θ¨ + mv
sin θ = 0mL θ˙
=
Ec =L
-L cosθ
uz

M

2
2
venir au même résultat par un raisonnement
énergétique.
L’énergie cinétique
certains droits
réservés

que chapitre 8 : équilibreneet
oscillateur
harmonique

pas
O peut
mg
2 ˙être
2est vendu
2 poids
e potentielle, sachant
que seul
le
à prendre en com
mL θ
mv
Energie
cinétique
=
E
=
u
c
r
nissons un vecteur unitaire !uz2 selon
la
2 verticale et vers le ha
r sur en
les forces.
Appliquons
le principe
fondamental
de
la
dynamique,
certains droits
réservés
cale
coordonnées
cylindriques).
L’énergie
potentielle
est :
T
uz

ne peut
!ur et potentielle,
!uθ .
θpas être
nergie
sachant que seul
le poids
est vendu
à prendre en compte, puisq
BCPST1 Fénelon
. Définissons
un vecteur unitaire !uz selon la verticale et vers le haut (attent
!
Nicolas
Clatin
2 2007 Ep =
mgz
=
−mgL
cos
θ
˙
-L
cosθ
M

mL
θ
=
mg
cos
θ

T
ase locale en coordonnées cylindriques). L’énergie potentielle est :

+ T! ⇒

mLθ¨ = −mg sin θ

Ep = mgz
cos θ
ue a donc pour expression
: = −mgLmg

(39)
Energie potentielle

atif
et que
tension
fil ne travaille pas,
mécanique
a donclapour
expressiondu
:
mécanique
a donc pour expression
:
u L’énergie
omme
le
poids
est
conservatif
et
que
la2 tension
du
fil
ne
tra
En n’oubliant pas que θ est mL
une
fonction
de
t,
˙θ2˙
u
mLpas
θ que θ est une fo
nique au cours
du temps.
En
n’oubliant
Em = EEc +=EEp +=E =
−− mgL
mgL coscos
θ θ
O
cosées
: de fonction, on a donc :
22

e
u

z

2 2

θ

m

c

p

ur

Comme le Le
poids
estestconservatif
et que la tension
du dans
fil nele travaille
pas, pas,
il yil ay acons
poids
une force conservatrice,
la tension
fil ne travaille
poids
est conservatif
etde que
laautension
du2θ¨(pas
fil
ne
travaille
pas,
il
y
mécanique
au cours
du temps.
En n’oubliant
pas
que
est
une
fonction
de
t,
et
en
dériv
conservation
l’énergie
cours
du
temps
de
frottement!)
˙
2
2mL
θ
θ
dE
T
m:
composées
de fonction,
on a donc
cours
du temps.
En n’oubliant
pas que θ est une fonction
de t, et
˙

¨
˙
2mL
θ
θ
= 0 ˙⇒
+ mgLθ ¨sin θ = 0 ⇒
θ
=fonction,
0 ⇒ on a donc : +dEdtmgL2mL
θ sin
0

L
θ
+
g
sin
θ¨θ˙ θ2 =
=0⇒
+ mgLθ˙ sin θ = 0 ⇒ Lθ¨ + g sin θ = 0
2
dt
2
-L cosθ
M
m

2

2¨˙
2mL
θθ
dE
ml’équation différentielle
n retrouve
bien
(40).
Dans
le
cas

on
é
˙
¨
On retrouve bien
Dans
le cas
=l’équation
0 ⇒ différentielle
+(40).
mgL
θ sin
θ où
= on
0 écarte
⇒ Lpeu
θ +lagmasse
sin θde=s
On fait
unel’approximation
de: petits
angles
:: sin θ différentielle
2approximation
soit si petit,
θ restedt
petit,
peut
faire
sin θ ≈
θ. L’équation
dev
i θ reste
on onpeut
faire
l’approximation
≈ θ. L’équ

fférentielle (40).
Dans le cas où on écarte peu la
mg
g
¨
θ =où
0 on écarte peu la ma
θle
+ cas
vel’approximation
bien l’équation différentielle
(40).
: sin
θ Dans
≈ θ.
L’équation
différe
g
L
¨

θ =différentie
0
θ +la dynamique,
r petit,
sur leson
forces.
le principe fondamental
de
peutAppliquons
faire l’approximation
: sin θ ≈ θ. L’équation
L
!ur et !uθ .
BCPST1
Fénelon
g
BCPST1 – Nicolas Clatin – septembre
2007 – Mécanique
chapitre 8 : équilibre et oscillateur harmon
g
!
¨
θ+ θ=0
Nicolas
Clatin
2 2007 ¨
˙
− mLθ = mg cos
θ+
− T θ = L0
θ
+ T! ⇒
(39)
L
mLθ¨ = −mg sin θ

BCPST1 – Nicolas Clatin – septembre 2007 – Mécanique chapitre 8 : éq

1 2
position d’équilibre.
que
l’on perturbe légèrement
le systè
Fig.
3:
Approximation
harmonique.
Em = M x˙ + E pImaginons,
(x)
2
L’énergie mécanique
s’écrit : oscillateur harmonique
L’approximation
−1

Équilibre Stable

−1.5
−3.14159

0
theta

3.14159

ant l’inertie 2 . L’approximation harmonique consiste à approcher le puits de
OnL’approximation
remarque donc harmonique
une position
d’équilibre
stable
(⌅ = harmonique.
0)modélisation
et une position d’équilibre
ulatrice.
est
en
général
la
première
Fig.
3:
Approximation
1
Fig. 3: Ap
2exemple,
Energie
mécanique
totale
instable
(⌅
=
⇤).
De
plus,
le
puits
de
potentiel
étant
symétrique,
les
oscillations
aure simplement les E
oscillations.
Par
elle
est
utilisée
pour
décrire
les
=
M
x
˙
+
E
(x)
2
m
p
tourd’un
de lacristal
position
seront symétriques.
L’amplitude
est
vibrations
etc. d’équilibre
2
p
p eq A des oscillationseq
donnée par Em = E p (A). On remarque donc que si Em > mgl, il ne peut pas y avoir
proximation
harmonique.
1
petite n’est
perturbation
2 harmonique.
d’oscillations
(il
s’agit
alors
d’un
mouvement
de
révolution).
Si l’énergie
pas
2
Fig.
3:
Approximation
E

E
(x
)
+
K(x
x
)
t l’inertie
. L’approximation
harmonique
consiste
à
approcher
le
pu
p
p Approximation
eq
eq
E

E
autour
de
l’équilibre
Fig.
3:
harmonique.
p
trop
grande,
le
puits
de
potentiel
peut
s’approcher
par
une
parabole
2
2E
datrice.
P
L’approximation
harmonique
est
en
général
la
première
modéli
2 ⌅
1


2
dx
2
dE
m décr
1
E

mgl⌅
+
constante

K
=
mgl
d simplement
EP
xeq> 0 puisque
2
p
1
les
oscillations.
Par
exemple,
elle
est
utilisée
pour
2
d
E
2
puits
potentiel.
En0K(x
écrivant
que
= 0 po
Ede
E2pP(xeq
)
+
x
)
(x2eq )xeq+ K(x xeqil) s’agit2 d’unoù
“puits
de
potentiel”
K=
>
puisque
il
s’agit
d’un
p ⌅dx
eq
pdx
dt
1
2
2
x
2
brations
cristal
etc. s’écritE p ⌅ E p (xeq ) + eqK(x xeq )
Alors d’un
que l’énergie
cinétique
2
⇤ 2 ⌅
2
2
d
d EP
2
d
x
1 il s’agit
où K = dx2
> 0 puisque
d’un
puits
de) potentiel.
En
écrivant que
m
d
x
2 ˙ dE
2
2
conservation
eq
M
(t)
+
K
(x(t)
x
=
0
E
=
ml


M
=
ml
⇤uits
⌅ potentiel. xEn
c
eqobtient
2
de
que
=
0
on
d
M
(
eq écrivant
2
2
2
dE
dt
d EP
dt
dt 2

1
E ⌅ E (x ) + K(x
2



x )

> 0 puisque il s’agit d’un puits de potentiel. En écriva
d x
M
(t) + K (x(t)
dt

x )=0

> 0 puisque il s’agit d’un puits de potentiel. En écrivant que

dx2 Ainsi,
xeq au voisinage de ⌅ = 0 , on a

signe par
= x= xxeq
signe
parX X

t) + K (x(t)

2x
d
d
l’écart
par
rapport
à
l’équilibre,
on
obtient
l’équation
diffé
xeq l’écartSipar
à
l’équilibre,
on
obtien
l’onMrapport
désigne
par
X
=
x
x
l’écart
par rap
(t)
+
K
(x(t)
x
)
=
0
eq
eq
2
dt
¨ K

xeq ) = 0

⌅ + 2 ⌅ = 02
dX
¨x+ ⌃0 X = 0
M
Si l’on désigne par X = x xeqMl’écart(t)
par+rapport
à l’équilibre,
on obtient l’équat
2
K
(x(t)
x
)
=
0
eq
l’angle oscille à la pulsation propre dt 2
0

X¨ + ⌃ X = 0

uation
est
caractéristique
d’un
oscillateur
harmonique
oscillant
à
la
pulsati
2
port àFig.
l’équilibre,
on
obtient
l’équation
différentielle
:

¨

X
+

X
=
0
Cette
équation
est
caractéristique
d’un
osc
3: Approximation harmonique. »
0
K
g à l’équilibre, on obtient l’équati
ésigne
par
X
=
x
x
l’écart
par
rapport
eq
plus le puitsharmonique
de potentiel
est étroit
plus laqu
s le puits
de caractéristique
potentiel est étroit⌃0et=d’un
plus
les
oscillations
sont
rapides.
Le
fait
K =
uation
est
oscillateur
oscil
est étroit
et
M. Plusl le puits de potentiel
2
fréquence
est
élevée
M
Cette
équation
est
caractéristique
d’un
oscillateur
harmonique
oscillant
à
la
X¨ +»
⌃permet
X
=
0
sciller
de
caractériser
la
position
d’équilibre
comme
stable.
Si
K
<
0,
l
1
0

L’approximation oscillateur harmonique
Souvent les vibrations moléculaires sont décrites par une
approximation harmonique, comme par exemple une molécule
diatomique dans le référentiel du centre de masse.

Potentiel de Lennard-Jones



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