1603447161792 2019 fusionné .pdf


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 ß YË@ éK QK @QmÌ '@ éK PñêÒmÌ '@
 éJ £@Q¯ñÖ
éJ J.ª‚Ë@
.
.
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche Scientifique
Concours national d’accès au second cycle des écoles supérieures
Année universitaire 2019/2020
SUJET
Domaine: SEGC

Matière: Analyse Mathématique

Durée:1h 30mn

Coefficient: 1
Calculatrice Autorisée:NON

Exercice1:( 0.75 + 1 + 0.75 + 2 =4.5pts )
A- Soit la fonction f : R2 −→ R définie par:

3
 (x − y)
x2 + y 2
f (x, y) =

0

si (x, y) 6= (0, 0)
si (x, y) = (0, 0)

1) Etudier la continuité de la fonction f sur R2 .
2) Calculer

∂f
∂x

et

∂f
∂y

en tout point (x, y) de R2 .

3) Etudier la continuité des fonctions

∂f
∂x

et

∂f
∂y

en (0, 0). f est-elle de classe C1 sur R2 ?

B- Determiner les extremums de la fonction g(x, y) = x3 + 2xy + y 2 − 1.
0.5 + 1 =3pts)
Exercice2:( 0.75 + 0.75
Z+
+∞
dx
.
A- Soit l’intégrale I =
(1 + x2 )(1 + x4 )
0
1) Montrer que I est convergente.
2) En utilisant le changement de variable t =

1
,
x

Z
montrer que I =
0

+∞

x4
dx.
(1 + x2 )(1 + x4 )

3) En déduire la valeur de I.
+∞
X
1
B- Etudier la nature de
2n
(1 + e )(1 + e4n )
n=0
Exercice3:( 1 + 1.5=2.5pts )
1) Dessiner le domaine défini par:
Ω = {(x, y) ∈ R2 /y ≤ x, x + y ≥ 2, x2 + y 2 ≤ 4}
2) Calculer l’intégrale:
Z Z
J=


dxdy
+ y 2 )2

(x2

 ß YË@ éK QK @QmÌ '@ éK PñêÒmÌ '@
 éJ £@Q¯ñÖ
éJ J.ª‚Ë@
.
.
République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement supérieur et de la Recherche Scientifique
Concours national d’accès au second cycle des écoles supérieures
Année universitaire 2019/2020
Corrigé type
Domaine: SEGC
Durée:1h 60mn

Matière: Analyse Mathématique
Coefficient: 1

Exercice1:( 0.75 + 1 + 0.75 + 2 =4.5pts )
A1) f étant le rapport de 2 polynomes donc continue dans son domaine de définition, c’est à dire
continue sur R2 − {(0, 0)}.
Reste à étudier la continuité en (0, 0):
r3 (cos θ − sin θ)3
= 0 = f (0, 0), vue que |(cos θ − sin θ)3 | ≤ 1
lim f (x, y) = lim
r→0
(x,y)→(0,0)
r2
Finalement f est continue sur R2 .
2) f étant le rapport de 2 polynomes donc dérivable dans son domaine de définition, c’est à dire
dérivable sur R2 − {(0, 0)}, et on a:
∂f
(x − y)2 (x2 + 2xy + 3y 2 )
(x, y) =
∂x
(x2 + y 2 )2
∂f
(x − y)2 (−3x2 − 2xy − y 2 )
(x, y) =
∂y
(x2 + y 2 )2
f (x, 0) − f (0, 0)
f (0, y) − f (0, 0)
et lim
x→0
y→0
x
y

Pour étudier la dérivabilité de f en (0, 0) on calcule les limites: lim
lim

x→0

f (x, 0) − f (0, 0)
x−0
∂f
= lim
=1⇒
(0, 0) = 1
x→0
x
x
∂x

f (0, y) − f (0, 0)
−y − 0
∂f
= lim
= −1 ⇒
(0, 0) = −1
y→0
x→0
y
y
∂y
lim

2

3) Pour la continuité de

∂f
∂f
et
en (0, 0), on a:
∂x
∂y
∂f
3y 4
∂f
(x, y) = lim 4 = 3 6=
(0, 0)
y→0,x=0 ∂x
y→0 y
∂x
lim

d’où

∂f
n’est pas continue en (0, 0).
∂x

et

∂f
−3x4
∂f
(x, y) = lim
(0, 0)
= 3 6=
4
x→0,y=0 ∂y
x→0 x
∂y
lim

d’où

∂f
n’est pas continue en (0, 0).
∂y

∂f
∂f
et
ne sont pas continues en (0, 0), donc f n’est pas de classe C1 sur R2 .
∂x
∂y
B- g est une fonction polynomiale donc continue et admet des dérivées partielles d’ordre un et deux
en tout point de R2 .
i)
critiques :


 Recherche de points 
∂f
2




y
=
−x
(x,
y)
=
0
3x
+
2y
=
0




 y = −x

 ∂x

⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
et
et
et
et








 x = 0 ou x =
 3x2 − 2x = 0
 ∂f (x, y) = 0
 2y + 2x = 0
∂y
d’où g admet deux points critiques : (0, 0) et ( 23 , − 32 )
ii) Nature des points critiques:
on a
∂ 2g
r=
(x, y) = 6x
∂x2
2
∂ g
t = 2 (x, y) = 2
∂y
∂ 2g
s=
(x, y) = 2
∂x∂y
∆ = s2 − rt = 4 − 12x
d’où le tableau suivant:

(0, 0)
( 23 , − 32 )

r

s

t

0

2 2



Conclusion

4>0

g(0, 0) = −1 n’est pas un extremum.

4 > 0 2 2 −4 < 0 g( 23 , − 32 ) = − 31
est un minimum local de g.
27

2
3

3
Exercice2:( 0.75 + 0.75 + 0.5 + 1 =3pts)
A- 1) Nature de I:
Pour x > 0, on a
0≤
Z

1
(1 +

x2 )(1

+

x4 )



1
1 + x2

+∞

1
π
+∞
converge, donc I converge.
dx
=
[arctan(x)]
=
0
1 + x2
2
0
2) En posant t = x1 , on a x = 1t donc dx = − t12 dt, et l’on obtient
et puisque l’intégrale

Z

+∞

I=
0

t4
dt
(1 + t2 )(1 + t4 )

3) Puisque toutes les intégrales convergent, on peut additionnes les deux expressions de I, et l’on
trouve:
Z

+∞

2I =
0

dx
+
2
(1 + x )(1 + x4 )

Z
0

+∞

x4
dx =
(1 + x2 )(1 + x4 )

B- On note un le terme général de la série

+∞
X

Z
0

+∞

π
dx
=
= [arctan(x)]+∞
0
2
1+x
2

1

, on a:
+ e4n )
 n
1
1
un =

2n
4n
(1 + e )(1 + e )
e6
n=0

La série

n
+∞ 
X
1
n=0

e6

est une série géométrique convergente car 0 <

converge aussi.
Exercice3:( 1 + 1.5=2.5pts )
1)

(1 +

e2n )(1

1
e6

< 1, donc la série

+∞
X
n=0

un

4
2) En coordonées polaires, on a Ω = {(r, θ) ∈ R+ ×] − π, π]/ 0 ≤ θ ≤ π4 ,
d’où

π
4

Z

Z

2

J=
2
cos θ+sin θ

0

Z
J=

π
4

1
drdθ
r3

cos θ sin θ

4
0
1
J=
16

2
cos θ+sin θ

≤ r ≤ 2}

Exercice Résolu de Probabilité
TAHRI Kamel
Abou Bekr Belkaid Univ, Tlemcen
Algeria, and
High School of Management, Tlemcen

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

09/06/2020

Ex 01

09/06/2020

1 / 25

Exercice 01: Soit X une v.a discrète dont la loi est donnée par:
k
P (X = k )

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

2
1
6

Ex 01

1
1
4

0

1

2

1
6

1
4

1
6

09/06/2020

2 / 25

Exercice 01: Soit X une v.a discrète dont la loi est donnée par:
k
P (X = k )
1

2
1
6

1
1
4

0

1

2

1
6

1
4

1
6

On note par Y := X 2 , déterminer la loi de Y .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

2 / 25

Exercice 01: Soit X une v.a discrète dont la loi est donnée par:
k
P (X = k )
1
2

2
1
6

1
1
4

0

1

2

1
6

1
4

1
6

On note par Y := X 2 , déterminer la loi de Y .
Déterminer la loi de (X , Y ) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

2 / 25

Exercice 01: Soit X une v.a discrète dont la loi est donnée par:
k
P (X = k )
1
2
3

2
1
6

1
1
4

0

1

2

1
6

1
4

1
6

On note par Y := X 2 , déterminer la loi de Y .
Déterminer la loi de (X , Y ) .
Etudier l’indépendance de X et Y .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

2 / 25

Exercice 01: Soit X une v.a discrète dont la loi est donnée par:
k
P (X = k )
1
2
3
4

2
1
6

1
1
4

0

1

2

1
6

1
4

1
6

On note par Y := X 2 , déterminer la loi de Y .
Déterminer la loi de (X , Y ) .
Etudier l’indépendance de X et Y .
Calculer cov (X , Y ) , et faire une remarque sur le résultat.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

2 / 25

Solution de l’Exercice 01:

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

3 / 25

Solution de l’Exercice 01:
1 Puisque X ( Ω ) = f 2,
1, 0, 1, 2g , alors Y (Ω) = f0, 1, 4g pour le
calcul

P (Y = 0) = P X 2 = 0 = P (X = 0) =
et

P (Y = 1) = P X 2 = 1 = P (X =

= P (X =

1) + P (X = 1) =

1
6

1 ou X = 1)

1
1 1
+ = .
4 4
2

et aussi
P (Y = 4) = P X 2 = 4 = P (X =

= P (X =

2) + P (X = 2) =

2 ou X = 2)

1 1
1
+ = .
6 6
3

et la loi de Y est donnée par:

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

k

0

1

4

P (Y = k )

1
6

1
2

1
3

Ex 01

09/06/2020

3 / 25

1

Pour remplir le tableau, on calcule par exemple:

P ((X , Y ) = (2, 4)) = P (X = 2 et Y = 4) = P (f2g \ f 2, 2g) = P (
On obtient le tableau suivant:
X /Y
2
1
0
1
2
2

0
0
0

1
0

4

1
4

1
6

0

0
0

1
4

0
0
0

0

1
6

1
6

Les Variables X et Y ne sont pas indépendantes car
P (X = 1 et Y = 0) = 0 6= mais P (X = 1) P (Y = 0) 6= 0.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

4 / 25

1

On a facilement les quantités suivantes:
k =2



E (X ) : =

kP (X = k ) = 0.

k= 2

et
E (Y ) := 0P (Y = 0) + 1P (Y = 1) + 4P (Y = 4) =

11
.
6

Pour calculer la covariance, on a besoin d’introduire la nouvelle v.a
T := XY .
k
P (T = k )

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

8
1
6

Ex 01

1
1
4

0

1

8

1
6

1
4

1
6

09/06/2020

5 / 25

1

Il facile de calculer
E (T ) = E (XY )

=

8P (T =

8)

1P (T =

1) + 0P (T = 0) + 1P (T = 1) + 8P (T =

E (T ) = 0.
On en déduit que
cov (X , Y ) = E (XY )

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

E (X ) E (Y ) = 0

09/06/2020

6 / 25

1

Il facile de calculer
E (T ) = E (XY )

=

8P (T =

8)

1P (T =

1) + 0P (T = 0) + 1P (T = 1) + 8P (T =

E (T ) = 0.
On en déduit que
cov (X , Y ) = E (XY )
2

E (X ) E (Y ) = 0

Les variables X et Y ne sont pas indépendantes mais leurs covariance
est nulle. Elles sont seulement non-corrélées.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

6 / 25

Exercice 2: Un sac contient 7 jetons rouges et 3 jetons blans. On
prélève au hasard et successivement 2 jetons sans remise. Soit X la
v.a est donnée par
0 si le premier jeton est rouge,
1 si le premier jeton est blan,

X =

et Y la v.a est donnée par
Y =

1 si le deuxième jeton est rouge,
0
si le deuxième jeton est blan,

1

Déterminer la loi de (X , Y ) .

2

Déterminer les lois marginales de X et Y .

3

Etudier l’indépendance de X et Y .

4

Calculer cov (X , Y ) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

7 / 25

Solution de l’Exercice 2:

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

8 / 25

Solution de l’Exercice 2:
1

En calculant les quantités:
P ((X , Y ) = (0,

1)) = P (X = 0 et Y =

1) =

7
10

6
14
= ,
9
30

et
P ((X , Y ) = (0, 0)) = P (X = 0 et Y = 0) =

7
10

6
14
= ,
9
30

et
P ((X , Y ) = (1,

1)) = P (X = 1 et Y =

1) =

3
10

6
7
= ,
9
30

et aussi
P ((X , Y ) = (1, 0)) = P (X = 1 et Y = 0) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

3
10

2
2
= .
9
30

09/06/2020

8 / 25

Solution de l’Exercice 2:
1

En calculant les quantités:
P ((X , Y ) = (0,

1)) = P (X = 0 et Y =

1) =

7
10

6
14
= ,
9
30

et
P ((X , Y ) = (0, 0)) = P (X = 0 et Y = 0) =

7
10

6
14
= ,
9
30

et
P ((X , Y ) = (1,

1)) = P (X = 1 et Y =

1) =

3
10

6
7
= ,
9
30

et aussi
3
2
2
= .
10 9
30
Les di¤érentes probabilités sont consignées dans la table de
contingence suivante:
P ((X , Y ) = (1, 0)) = P (X = 1 et Y = 0) =

2

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

X /Y

1
14
30
7
30

0
1
Ex 01

1
7
30
2
30
09/06/2020

8 / 25

1

Les lois marginales de X et Y :
k
P (X = k )

0

1

21
30

9
30

et

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

k
P (Y = k )

Ex 01

1
21
30

0
9
30

09/06/2020

9 / 25

1

Les lois marginales de X et Y :
k
P (X = k )

0

1

21
30

9
30

et
k
P (Y = k )
2

1
21
30

0
9
30

Les Variables X et Y ne sont pas indépendantes car
P (X = 0 et Y = 0) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

14
21
6= mais P (X = 0) P (Y = 0) =
30
30

Ex 01

09/06/2020

9
.
30

9 / 25

On a facilement les quantités suivantes:
E (X ) := 0P (X = 0) + P (X = 1) =

9
.
30

et

21
.
30
Pour calculer la covariance, on a besoin d’introduire la nouvelle v.a
Z := XY .
k
1 0
16
7
P (Z = k ) 30
30
E (Y ) : =

1P (Y =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

1) + 0P (Y = 0) =

Ex 01

09/06/2020

10 / 25

1

Il facile de calculer
P (Z = 0) = P (XY = 0) = P (X = 0 ou Y = 0)

= P (X = 0) + P (Y = 0)

P (X = 0 et Y = 0)

= P (X = 0) + P (Y = 0)

P ((X , Y ) = (0, 0))

= P (X = 0) + P (Y = 0)
=

9
21
+
30 30

P ((0, 0))

14
16
= .
30
30

et
P (Z =

1) = P (XY =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

1) = P [(X = 1et Y =

1)]

09/06/2020

11 / 25

1

c-à-d
P (Z =

1) = P ((1,

1)) =

Comme
E (T ) = E (XY ) =

7
.
30

16
.
30

On obtient
cov (X , Y ) = E (XY )
On déduit
cov (X , Y ) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

16 16
+
30 30

Ex 01

E (X ) E (Y ) ,
9
160
=
.
30
900

09/06/2020

12 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

0
0, 1
0
0

Ex 01

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1
2

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.
Calculer les lois margnales de X et Y.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1
2
3

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.
Calculer les lois margnales de X et Y.
Calculer cov (X , Y ) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1
2
3
4

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.
Calculer les lois margnales de X et Y.
Calculer cov (X , Y ) .
Calculer ρ(X ,Y ) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1
2
3
4
5

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.
Calculer les lois margnales de X et Y.
Calculer cov (X , Y ) .
Calculer ρ(X ,Y ) .
Calculer P (X = 0/Y = 1) et P (Y = 2/X = 1) et
P (X = 2, Y = 1) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Exercice 3: On consdère deux v.a.r X et Y sur le même univers Ω
tel que X (Ω) = f0, 1, 2g et Y (Ω) = f0, 1, 2g avec la loi conjointe
P(X ,Y ) donnée par le tableau suvant:
X /Y
0
1
2
1
2
3
4
5

6

0
0, 1
0
0

1
0, 2
α
0

2
0, 3
0, 2
0, 1

Déterminer la constante α.
Calculer les lois margnales de X et Y.
Calculer cov (X , Y ) .
Calculer ρ(X ,Y ) .
Calculer P (X = 0/Y = 1) et P (Y = 2/X = 1) et
P (X = 2, Y = 1) .
Calculer Var (X /Y = 1) et Var (X /Y = 2) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

13 / 25

Solution de l’Exercice 3:

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

14 / 25

Solution de l’Exercice 3:
1

Pour P(X ,Y ) dé…nisse bien une loi de probabilité, il faut véri…er:
i =2 j =2

∑ ∑ P (X

= i, Y = j ) = 1 =) α = 0, 1.

i =0 j =0

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

14 / 25

Solution de l’Exercice 3:
1

Pour P(X ,Y ) dé…nisse bien une loi de probabilité, il faut véri…er:
i =2 j =2

∑ ∑ P (X

= i, Y = j ) = 1 =) α = 0, 1.

i =0 j =0
2

En calculant les lois margnales de X et Y:
j =2

PX (0) = P (X = 0) =

∑ P (X

= 0, Y = j ) .

j =0

On obtent
PX (0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 0, Y = 1) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

PX (0) = 0, 1 + 0, 2 + 0, 3 = 0, 6.

Ex 01

09/06/2020

14 / 25

De même façon, on calcule les autres
j =2

PX (1) = P (X = 1) =

∑ P (X

= 1, Y = j ) .

j =0

On obtent
PX (1) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) .
PX (1) = 0 + 0, 1 + 0, 2 = 0, 3.
et aussi
j =2

PX (2) = P (X = 2) =

∑ P (X

= 2, Y = j ) .

j =0

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

15 / 25

On obtent
PX (2) = P (X = 2, Y = 0) + P (X = 2, Y = 1) + P (X = 2, Y = 1) .
PX (2) = 0 + 0 + 0, 1 = 0, 1.
Finalement on a
k
P (X = k )

0
0, 6

1
0, 3

2
0, 1

et la lois margnale de Y:
i =2

PY (0) = P (Y = 0) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

∑ P (X

= i, Y = 0) .

i =0

Ex 01

09/06/2020

16 / 25

On obtent
PY (0) = P (X = 0, Y = 0) + P (X = 1, Y = 0) + P (X = 2, Y = 0) .
PY (0) = 0 + 0, 1 + 0 = 0, 1.
De même façon, on calcule les autres
i =2

PY (1) = P (Y = 1) =

∑ P (X

= i, Y = 1) .

i =0

On obtient
PY (1) = P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) + P (X = 2, Y = 1) .
PY (1) = 0, 2 + 0, 1 + 0 = 0, 3.
et aussi
i =2

PY (2) = P (Y = 2) =

∑ P (X

= i, Y = 2) .

i =0
H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

17 / 25

On obtient
PY (2) = P (X = 0, Y = 2) + P (X = 1, Y = 2) + P (X = 2, Y = 2) .
PY (2) = 0, +0, 2 + 0, 1 = 0, 6.
Finalement on a
k
P (X = k )

0
0, 1

1
0, 3

2
0, 6

Pour le calcul de la covariance, on rappelle
cov (X , Y ) := E (XY )
On calcule

E (X ) E (Y ) .

i =2 j =2

E (XY ) =

∑ ∑ ijP (X

= i, Y = j ) = 0, 9

i =0 j =0
H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

18 / 25

et

i =2

E (X ) =

∑ iP (X

= i ) = 0, 5

i =0

et aussi

j =2

E (Y ) =

∑ jP (Y

= j ) = 0, 7.

j =0

On obtent
cov (X , Y ) := 0, 9

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

0, 35 = 0, 55.

09/06/2020

19 / 25

On le coé¢ cent de corrélation
ρ(X ,Y ) :=
et comme
σX : =

q

cov (X , Y )
σX σY

Var (X ) et σY :=

Var (X ) = E X 2

q

Var (Y ).

(E (X ))2

avec
E X2 =

i =2

∑ i 2 P (X

= i ) = 02 P (X = 0) + 12 P (X = 1) + 22 P (X = 2)

i =0

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

20 / 25

Donc
Var (X ) = 0, 7

(0, 5)2 = 0.45.

De même façon, on obtent
Var (Y ) = E Y 2

(E (Y ))2

avec
j =2

E Y2 =

∑ j 2 P (Y

= j ) = 02 P (Y = 0) + 12 P (Y = 1) + 22 P (Y = 2

j =0

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

21 / 25

Donc

(0, 7)2 = 2, 21.

Var (X ) = 2, 7
D’où
ρ(X ,Y ) :=

0, 55
cov (X , Y )
=p
= ...
σX σY
0, 45 2, 21

Calcul P (X = 0/Y = 1) et P (Y = 2/X = 1) et P (X = 2/Y = 1) :
P (X = 0/Y = 1) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

P (X = 0 etY = 1)
P (Y = 1)

Ex 01

09/06/2020

22 / 25

On obtient
P (X = 0/Y = 1) =

P (X = 0 etY = 1)
0, 2
=
= 0, 66,
P (Y = 1)
0, 3

P (Y = 2/X = 1) =

0, 2
P (Y = 2 et X = 1)
= 0, 66,
=
P (X = 1)
0, 3

et

et aussi
P (X = 2, Y = 1) =

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

P (X = 2 et Y = 1)
0, 2
=
= 0, 66.
P (Y = 1)
0, 3

Ex 01

09/06/2020

23 / 25

CalculVar (X /Y = 1) :

(E (X /Y = 1))2

Var (X /Y = 1) = E X 2 /Y = 1
On commence par calculer cette quantité
E X 2 /Y = 1 =

i =2

∑ i 2 P (X

i =0

1
= i /Y = 1) = .
3

Donc,
Var (X /Y = 1) =

1
3

1
3

2

2
= .
9

De même on calcule et on obtient
Var (X /Y = 2) = 1.

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

24 / 25

Exercice 4: On lance un dé bien équilibré et on observe le numéro de
face superieure après le lancer. Soient X et Y les v.a dé…nies par
X =

1

2
3

4
5
6

1 si le résultat observé est impair,
1
si le résultat observé est pair,

et Y la v.a est donnée par
8
< 2 si le résultat observé est 1,2 ou 3,
0
si le résultat observé est 4,
Y =
:
3 si le résultat observé est 1 ou 6.

Déterminer la fonction de masse conjointe et la fonction de
répartition conjointe des variables X et Y .
Déterminer les fonctions de masse marginales de X et Y .
Déterminer les fonctions de répartition marginales des variables X et
Y.
Calculer le coe¢ cient de correlation de X et Y .
Etudier l’indépendance de X et Y .
Calculer cov (X , Y ) .

H. S. M and A. B. B. Univ, Tlemcen (Institute)

Ex 01

09/06/2020

25 / 25


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