Exercice sur logarithme népérien propose par le prof

Exercice sur logarithme népérien propose par le
prof : Ennaji Ahmed pour le bac 2017 sciences
expérimentales biof
Partie 1 :
Soit la fonction g définie sur

0,  par : g  x  

 x 1
0 : g ' x  2
2

1-montrer que : x

x4 1
 4ln x
x2

2

x3

2-en déduire que g est strictement croissante sur 0, 
3-etablir que g  x 

0

pour

x  0;1

et g  x 

0 pour x  1; 

(Remarquer : g(1)=0).
Partie2 :


1 
2
 ln x 
2  
4 x 

On considère la fonction f définie sur 0,  par f  x   1  x
1 1
0 : f  x   x2   4
 4 4 x

1-a-verifier que : x
b-en déduire que
c-calculer

lim

x 

2





lim f  x   

x

f  x
et
x

2-a-verifier que :

 ln x 


 x 

4

x

b- en déduire que

interpréter le résultat obtenu géométriquement
0 : f  x 

1  1 1
2
   x ln x  
2 
4
x  4x 4


lim f  x    et

x0

interpréter ce résultat

géométriquement.
3-montrer que : x

0 : f ' x 

g  x
2x

4-a-montrerque g est strictement décroissante sur 0;1 et g est
strictement croissante sur 1; 
b-donner le tableau de variation de

f

5-a-montrer que : x

1
0 : f  x  f  
 x

b-montrer que l’équation f  x   x admet une solution unique  sur 0;1
c- montrer que l’équation f  x   1 admet une solution unique  sur
x

1; 
d-vérifier que :   1

e-donner un encadrement de  d’amplitude 102 et en déduire un
encadrement de 
6-construire la courbe

C  dans un repère orthonormé O; i; j 
f

7-a-en utilisant une intégration par partie .montrer que 1 ln xdx  1
e

b-en déduire que : 1  ln x 2  e  2
e

8-determiner l’aire du domaine plan limite par la courbe  C f  , l’axe des
abscisses et les droites d’équations